专题06 概率统计大题综合-【冲刺双一流之大题必刷】备战2024年高考数学冲刺双一流之大题必刷满分冲刺（理科）（陕西专用）

专题06 概率统计大题综合（理科）（陕西专用） 一、解答题 1．（2023·陕西西安·校考模拟预测）某车间在三天内，每天生产6件某产品，其中第一天、第二天、第三天分别生产出了2件、1件、1件次品，质检部门每天要从生产的6件产品中随机抽取3件进行检测，若发现其中有次品，则当天的产品不能通过. (1)求第一天的产品通过检测的概率； (2)求这三天内，恰有两天能通过检测的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由古典概型公式计算第一天通过检查的概率； （2）由古典概型公式求出第i天的产品能通过检测的概率为（，2，3），利用独立事件乘法公式计算三天内，恰有两天能通过的概率； 【详解】（1）因为第一天有4件正品，随意抽取3件产品检查，第一天通过检查的概率为. （2）依题意知，记第i天的产品能通过检测的概率为（，2，3）， 则，， 则三天中恰有两天能通过的检测的概率是. 2．（2023·陕西西安·校联考一模）猜灯谜是我国一种民俗娱乐活动．某社区在元宵节当天举行了猜灯谜活动，工作人员给每位答题人提供了10道灯谜题目，答题人从中随机选取4道灯谜题目作答，若答对3道及以上灯谜题目，答题人便可获得奖品．已知甲能答对工作人员所提供的10道题中的6道． (1)求甲能获得奖品的概率； (2)记甲答对灯谜题目的数量为X，求X的分布列与期望． 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【分析】（1）结合题意，利用古典概型的概率计算公式即可求解； （2）根据题意先求出X的可能取值，再求出每一个值对应的概率，列出分布列，带入期望的公式即可求解. 【详解】（1）由题可知，甲能获得奖品的概率． （2）由题可知，X的取值可能为0，1，2，3，4， 则，，，，， X的分布列为 0 1 2 3 4 ． 3．（2023·陕西西安·统考一模）某公司计划在2023年年初将200万元用于投资，现有两个项目供选择.项目一：新能源汽车.据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利，也可能亏损，且这两种情况发生的概率分别为和；项目二：通信设备.据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利，可能损失，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为. (1)针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由； (2)若市场预期不变，该投资公司按照（1）中选择的项目长期投资（每一年的利润和本金继续用作投资），问大约在哪一年的年底总资产（利润+本金）可以翻两番？（参考数据） 【答案】(1)建议该投资公司选择项目一进行投资，理由见解析 (2)大约在2030年年底总资产可以翻两番 【分析】（1）分别计算出两个项目的期望和方差，比较后得到结论； （2）设年后总资产可以翻两番，根据题意列出方程，求出答案. 【详解】（1）若投资项目一，设获利为万元，则的分布列为 60 -30 若投资项目二，设获利为万元，则的分布列为 100 0 -60 ， ， ， ， ， 这说明虽然项目一､项目二获利的均值相等，但项目一更稳妥.综上所述，建议该投资公司选择项目一进行投资. （2）假设年后总资产可以翻两番，依题意，，即， 两边取对数，得， ，， 大约在2030年年底总资产可以翻两番. 4．（2023·陕西安康·统考三模）某市为了传承发展中华优秀传统文化，组织该市中学生进行了一次文化知识有奖竞赛，竞赛奖励规则如下：得分在内的学生获三等奖，得分在内的学生获二等奖，得分在内的学生获一等奖，其他学生不得奖.为了解学生对相关知识的掌握情况，随机抽取100名学生的竞赛成绩，并以此为样本绘制了如图所示的样本频率分布直方图. (1)现从该样本中随机抽取2名学生的竞赛成绩，求这2名学生中恰有1名学生获奖的概率； (2)估计这100名学生的竞赛成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (3)若该市共有10000名学生参加了竞赛，所有参赛学生的成绩近似服从正态分布，其中，为样本平均数的估计值，试估计参赛学生中成绩超过78分的学生人数（结果四舍五入到整数）. 附：若随机变量服从正态分布，则，，. 【答案】(1) (2)64 (3) 【分析】（1）由古典概型计算即可； （2）由样本频率分布直方图计算样本平均数的估计值即可； （3）根据正太分布的三段区间公式计算即可. 【详解】（1）由样本频率分布直方图得，样本中获一等奖的有6人，获二等奖的有8人，获三等奖的有16人，共有30人获奖，70人没有获奖. 从该样本中随机抽取的2名学生的竞赛成绩，基本事件总数为， 设“抽取的2名学生中恰有1名学生获奖”为事件A，则事件A包含的基本事件的个数为， ∵每个基本事件出现的可能性都相等，∴， 即抽取的2名学生中恰有1名学生获奖的概率为. （2）由样