专题03 立体几何大题综合-【冲刺双一流之大题必刷】备战2024年高考数学冲刺双一流之大题必刷满分冲刺（文科）（陕西专用）

专题03 立体几何大题综合（文科）（陕西专用） 一、解答题 1．（2023·陕西宝鸡·统考二模）如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，，，，，E为棱PD上一点． (1)求证：无论点E在棱PD的任何位置，都有成立； (2)若在PB上存在一点H，且，求三棱锥C－ABH的体积 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由已知线面垂直得，再由线面垂直判定定理得CD⊥平面PAD，从而可证得题设线线垂直； （2）由体积公式计算． 【详解】（1）因为PD⊥平面ABCD，平面ABCD， 所以， 因为，，AD，平面PAD， 所以CD⊥平面PAD， 因为E为棱PD上一点， 所以平面PAD， 所以． （2）因为PD⊥平面ABCD，沿H做下底面ABCD垂线HM，可知， 所以三棱锥C-ABH的体积就等于三棱锥H－ABC的体积， 所以． 2．（2023·陕西咸阳·统考三模）如图，三棱柱的侧面是边长为1的正方形，侧面侧面，，，G是的中点． (1)求证：平面平面； (2)若P为线段BC的中点，求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）在中，由余弦定理求出，由勾股定理逆定理得出，再说明平面和平面GBC，即可证明； （2）由，说明PB为三棱锥的高，即可求出体积． 【详解】（1）在中，，，， 则在中，由余弦定理得， 因为，即， 所以， 由已知平面平面，且平面平面， 又平面，故平面， 又平面GBC，则平面平面． （2）由题意知，， 由（1）知，平面，平面， 则， 又，且，平面， 可得平面，因此PB为三棱锥的高， 因为，， 所以， 又， 所以． 3．（2023·陕西西安·统考三模）如图，在三棱柱中，平面ABC，D，E分别为AC，的中点，，． (1)求证：平面； (2)求点D到平面ABE的距离． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）通过证明，，得证平面． （2）由，利用体积法求点D到平面ABE的距离． 【详解】（1）证明：∵，D，E分别为AC，的中点， ∴，且， 又平面，∴平面， 又平面，∴， 又，且，平面， ∴平面． （2）∵，，， ∴， ∴，，． 在中，，， ∴边上的高为． ∴． 设点D到平面ABE的距离为d， 根据，得，解得， 所以点D到平面ABE的距离为． 4．（2023·陕西安康·统考三模）如图，四棱锥中，平面，四边形是正方形，，，分别是棱，，的中点． (1)证明：平面； (2)若，求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接DE，推导四边形BEDF是平行四边形，从而得到，再得到，从而平面BFG，平面BFG，进而得到平面平面BFG，因此得证平面； （2）由平面，，可得平面ABCD，作，垂足为M，则，进而得到平面BFG，即的长是点C到平面BFG的距离，再利用等面积法求解即可. 【详解】（1）连接DE， ∵ABCD是正方形，E，F分别是棱BC，AD的中点， ∴，， ∴四边形BEDF是平行四边形， ∴， ∵G是PA的中点， ∴， ∵PD，DE平面BFG，FG，BF平面BFG， ∴平面BFG，平面BFG， ∵，直线PD，DE在平面PDE内， ∴平面平面BFG， ∵PE平面PDE， ∴平面BFG． （2）∵平面，， ∴平面ABCD， 过C在平面ABCD内，作，垂足为M，则， ∵，又直线FG，BF在平面BFG内， ∴平面BFG， ∴的长是点C到平面BFG的距离， ∵中，， ∴由等面积可得， ∴点C到平面BFG的距离为. 5．（2023·陕西咸阳·统考模拟预测）如图，已知直四棱柱，底面是菱形，，，，是和的交点，是的中点.    (1)证明：平面； (2)求直线平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理可证平面，根据线垂直性质得到，由已知可得，利用等边三角形三线合一的性质可得，再利用线面垂直的判定定理可证平面； （2）由线面平行的判定定理可知平面，即点到平面的距离为所求，根据勾股定理逆定理可证，再利用等体积法求解即可. 【详解】（1）证明：在直四棱柱中，底面ABCD，而底面ABCD， ， 已知底面是菱形，， 而，平面， 平面，又，平面， 而平面，，    在菱形中，已知，，可得， 又，在中，， ，而是的中点，知， 又，平面， 所以平面. （2），平面，平面， 平面，即点到平面的距离为所求， 在三棱锥中，易知到平面的距离等于到直线的距离为，且， 在中，，，，可得，即 ∴ 设到平面的距离为，由三棱锥体积关系， 得，解得， 故直线平面的距离为. 6．（2023·陕西商洛·统考三模）如图，四棱锥的底面是等腰梯形，，，，底面ABCD，为棱上的一点. (1)证明：； (2)若三棱锥的体积为，求的值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）过点作，垂足