专题02 数列大题综合-【冲刺双一流之大题必刷】备战2024年高考数学冲刺双一流之大题必刷满分冲刺（陕西专用）

专题02 数列大题综合（陕西专用） 一、解答题 1．（2023·陕西渭南·统考一模）设数列的前项和为，已知，是公差为2的等差数列. (1)求的通项公式； (2)设，求数列前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出，从而利用等差数列求和公式求出，再利用求出答案； （2）裂项相消法求和. 【详解】（1）∵， ∴， ∴， ∴， 当时，， 又适合上式，因此； （2）， 故. 2．（2023·陕西商洛·统考二模）已知等差数列满足，． (1)求的通项公式； (2)设的前n项和为，求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设等差数列的公差为，根据等差数列的性质即可求得的值，进而即可求得的通项公式； （2）先根据等差数列前n项和的公式求得，从而可得的通项公式，再根据裂项相消即可求得． 【详解】（1）设等差数列的公差为， 由，，得，解得． 所以． （2）由（1）得， 所以， 所以． 3．（2023·陕西商洛·统考三模）已知正项等比数列的前项和为，且， (1)求的公比； (2)若，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，由条件得到关于公比的方程，求解即可得到结果； （2）根据题意，由（1）可得数列为等差数列，结合等差数列的求和公式即可得到结果. 【详解】（1）设的公比为q，因为， 所以， 则，解得或（舍去）． （2）由（1）可知， ， 则． 4．（2023·陕西榆林·统考模拟预测）已知在等差数列中，.. (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等差数列的通项公式列式求出和，再代入通项公式可得结果； （2）利用，裂项求和可得结果. 【详解】（1）设的公差为.由，可得. 因为，所以. 由，得，. 故. （2）因为，所以， 所以 . 5．（2023·陕西汉中·统考二模）已知数列的前项和为，， 从：①；②；③中选出一个能确定的条件，补充到横线处，并解答下面问题. (1)求数列的通项公式； (2)设数列，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）选①可得不能确定，选②作差得到，即可得到是以为首项，为公差的等差数列，即可求出通项公式，选③可得是以为首项，为公差的等差数列，即可求出通项公式； （2）由（1）可得，利用裂项相消法求和计算可得. 【详解】（1）选①作条件：因为，，数列奇数项确定， 但未知，故数列偶数项不确定，因此数列不确定，不能选①； 选②作条件：，， 当时，则， 当， 所以，所以，    又因为， 对任意正整数，所以是以为首项，为公差的等差数列， 所以； 选③作条件：因为，所以是以1为首项，2为公差的等差数列， 又因为，所以； （2）由（1）知，等差数列的通项公式， 于是，                所以 . 6．（2023·陕西汉中·统考二模）已知数列是公差不为零的等差数列，且，，成等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)设数列的前n项和为，在①，；  ②，；③，；这三个条件中任选一个，将序号补充在下面横线处，并根据题意解决问题.问题：若，且______，求数列的前n项和. （注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答给分.） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设等差数列的公差为d，根据，，成等比数列，由求解； （2）选①，由，，得到时，求解；选②，由，，得到时，，两式相减求解；选③，由，，得到时，，两式相减求解.进而得到，再利用分组求和求解. 【详解】（1）解：设等差数列的公差为d， 因为，，成等比数列， 所以， 解得或（舍去）. 所以，. （2）选①，由，， 当时，，当时等式也成立， 所以，    选②，由，，① 当时，，② ②-①得，即， 所以是首项为1，公比为2的等比数列， 当时等式也成立， 所以， 选③，由，，① 当时 当时，，② ②-①得 ，即，又 ， 所以是首项为1，公比为2的等比数列， 所以，         则，   ， 7．（2023·陕西咸阳·统考三模）已知数列满足，且． (1)求数列的通项公式； (2)数列的前n项和为，若，求n的最大值． 【答案】(1) (2)10 【分析】（1）根据题意中的递推公式可得，则数列是以2为首项，2为公比的等比数列，结合等比数列的通项公式即可求解； （2）由（1），利用分组求和法，结合等差、等比数列前n项求和公式计算可得，求出即可求解. 【详解】（1）∵，且， ∴． 由于，则，∴． 则． ∴数列是以2为首项，2为公比的等比数列． 得，则， 即数列的通项公式为． （2）∵， ∴ ． ∵，即， 当时，；当时，. ∴满足的n的最大值为10． 8．（2023·陕西西安·统考二模）在①；②，；③，.这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整后的题目.