专题01 解三角形大题综合-【冲刺双一流之大题必刷】备战2024年高考数学冲刺双一流之大题必刷满分冲刺（陕西专用）

专题01 解三角形大题综合（陕西专用） 一、解答题 1．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知分别是的角的对边，. (1)求证：； (2)求的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用正弦定理和余弦定理即可求解. （2）由（1）知，，利用正弦定理可得，然后利用换元思想得，利用函数的单调性求解即可. 【详解】（1）由正弦定理及知， ， 由余弦定理得，， 或. . （2）由（1）和正弦定理得， ， ， 设，则，则， 设， 则在上单调递增，则， 即. 的取值范围为. 2．（2023·陕西咸阳·统考模拟预测）已知中，，且边上的中线交于点. (1)求的长; (2)求的值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用余弦定理直接求解； （2）易知，根据重心的性质求出与，利用余弦定理即可求解. 【详解】（1）由余弦定理得, 而，于是, 即，解得. （2）易知，如图，为的重心， 可得, ， ∴. 3．（2023·陕西·统考一模）已知函数． (1)求函数的单调递减区间及对称轴方程； (2)若在中，角A，B、C所对的边分别为a，b，c，且，，求面积的最大值． 【答案】(1)单调减区间为，；对称轴方程， (2) 【分析】（1）利用降幂公式和辅助角公式化简函数解析式，用整体代入法求函数的单调递减区间及对称轴方程； （2）由，求出角A，余弦定理求的最大值，面积公式可求面积的最大值． 【详解】（1）， 由，，得函数的单调减区间为，． 由，，得，， 所以函数的对称轴方程，． （2）由得，由，∴，∴． 又，由余弦定理得， 所以，得，当且仅当时等号成立， 所以， 所以面积的最大值为． 4．（2023·陕西·西北工业大学附属中学校联考模拟预测）已知在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中，C为钝角，且. (1)求角B的大小； (2)若的面积为6，求的周长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理边化角得，从而有，再利用倍角正切公式求得，再利用和角正切公式即可求得，即可求得； （2）先利用和角正弦公式求得，再利用正弦定理，结合三角形的面积公式分别求得三边的长度，从而可求得周长. 【详解】（1）依题意，有， 由正弦定理，得，则. ，， C为钝角，（舍去）， ， 即， 因为C为钝角，所以B为锐角，所以（舍去），即. （2），，； ，， . 由正弦定理，得，， 的面积，解得，， 由正弦定理，得，， 的周长为. 5．（2023·陕西咸阳·统考模拟预测）已知在中，角的对边分别是且满足：. (1)求角的大小; (2)设，以为直径做半圆（如图），是半圆弧上任意一点（除外），连接，求四边形的面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由的关系，结合三角形内角和，即可得出角的大小； （2）利用几何性质即可得出四边形的面积的最大值. 【详解】（1）由题意， 在中，， ∵, ∴即， ∵， ∴， ∴， 解得：或， ∵， ∴. （2）由题意，（1）及图得，， 要使四边形面积最大，只要使和中上的高最大， 在中， 作的外接圆， ∵，由几何知识得，当为等边三角形时面积最大， 此时，，， 在中，， ，当且仅当时等号成立， 由几何知识得，此时，， 为等腰直角三角形，且为斜边时，面积最大. ∴. 6．（2023·陕西西安·统考三模）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，且_________． 在①，②这两个条件中任选一个，补充在上面横线中，并解答下列问题．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分 (1)求； (2)若，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）选①，用余弦定理即可求解，选②，用向量的数量积的运算即可求解；（2）用正弦定理即可解决. 【详解】（1）若选①， 由余弦定理可得， ∴， 又，∴，∴． 若选②， 则， 又，∴，∴． （2）由正弦定理（为外接圆半径）， 可得， 又∵， ∴，解得． ∴． 7．（2023·陕西榆林·统考模拟预测）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求A； (2)若，△ABC的面积为，求△ABC的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理边化角，再结合三角恒等变换分析运算； （2）利用面积公式、余弦定理运算求解. 【详解】（1）因为，由正弦定理得， 则， 又因为，则，得， 即，所以. （2）因为△ABC的面积，即，可得， 由余弦定理可得：， 即，解得， 所以△ABC的周长为. 8．（2023·陕西西安·校联考一模）在中，点D在边上，且． (1)若平分，求的值； (2)若成递增的等比数列，，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）运用余弦定理求出 的关系，再运用正弦定理求解； （2）运用余弦定理求出AB，BC的值，再求出 ，用