专题01 首届新高考-解三角形大题综合-【冲刺双一流之大题必刷】备战2024年高考数学冲刺双一流之大题必刷满分冲刺（首届新高考江西、广西、贵州、甘肃专用）

专题01 首届新高考-解三角形大题综合（首届新高考江西、广西、贵州、甘肃专用） 一、解答题 1．（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考二模）已知中，，D为AB中点，. (1)若，求AC的长度； (2)若，求的值. 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）由余弦定理和互补角的余弦关系即可求解； （2）根据余弦定理和正弦定理即可求解. 【详解】（1）在中，由余弦定理得， ， ， 在中，， 所以AC的长度为2. （2）设BC＝x，则AC＝2x，在和中分别利用余弦定理得 ， 解得（负根舍）. 因为， 所以， 在中，由正弦定理得， 即. 2．（2023·山西朔州·怀仁市第一中学校校考模拟预测）在锐角中，已知，且. (1)求的值； (2)当角取得最小值时，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正切两角和公式进行化简求得结果； （2）根据均值不等式、正弦定理以及面积公式进行求解即可. 【详解】（1）因为，所以， 因为，所以， 在锐角三角形中，，所以， 所以，即； （2）由（1）可知，， 当且仅当时，上述等号成立， 由得， 所以 由同理可得， 由正弦定理可得，解得， 所以. 3．（2023·湖南邵阳·邵阳市第二中学校考模拟预测）在中，角，，所对的边分别是，，，若. (1)求角的大小； (2)若，求的面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据内角和关系和诱导公式，二倍角余弦公式化简方程，可求，由此可得角的大小； （2）由条件根据余弦定理可得，结合基本不等式求的最大值，结合三角形面积公式求的最大值. 【详解】（1）因为，， 所以可化为， 所以，又因为 解得，又因为， 所以. （2）由余弦定理得，所以， 又，所以， 所以， 又因为，当且仅当时等号成立， 所以，所以，当且仅当时等号成立， 所以三角形的面积，当且仅当时等号成立， 所以三角形面积的最大值为. 4．（2023·安徽合肥·合肥市第六中学校考模拟预测）在①，②这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题． 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知________，．    (1)求； (2)如图，为边上一点，，，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）若选择条件①，利用正弦定理将边化角，再根据同角三角函数的基本关系计算可得；若选择条件②，利用正弦定理将边化角，再利用诱导公式及二倍角公式求出，即可求出，最后利用二倍角正弦公式计算可得； （2）设，易知，，再利用余弦定理求出，最后由面积公式计算可得. 【详解】（1）若选择条件①，在中， 由正弦定理得， ，，即， ， 又，； 若选择条件②，， ，即， 又，，所以， 因为，所以，所以，所以，则， . （2）设，易知，， 因为且为锐角，所以， 在中，由余弦定理， 即，解得或（舍去）， 所以，， . 5．（2023·安徽合肥·合肥一中校考模拟预测）记的内角，，的对边分别为，，，已知. (1)求的值； (2)若，，求的值. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）利用二倍角公式及诱导公式计算可得； （2）由面积公式求出，再由余弦定理得到关于的方程，解得即可. 【详解】（1）因为， 所以 . （2）因为，所以， 因为，即，所以， 再由余弦定理知，即， 即，解得或， 所以或（负值舍去）. 6．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）记的内角的对边分别为，分别以为边长的三个正三角形的面积依次为，已知. (1)求的面积； (2)若，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据面积公式及余弦定理得到，再求出，即可求出，最后由面积公式计算可得； （2）由正弦定理求出，即可得解. 【详解】（1）由题意得，，， 则，即， 由余弦定理得，整理得，则，又， 则，所以，则； （2）由正弦定理得， 所以， 则或（舍去），所以. 7．（2023·山东泰安·统考模拟预测）在中，角所对的边分别为，且 (1)若成等比数列，求角的大小； (2)若，且，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，利用数量积的定义化简得到，再由余弦定理得到，结合，求得，即可求解； （2）由（1）知，根据题意，利用正弦定理可得，联立方程组求得的值，结合余弦定理求得，得到，利用面积公式，即可求解. 【详解】（1）因为， 根据向量的数量积的定义，可得， 由余弦定理可得，整理得， 因为成等比数列， 所以，解得 所以为等边三角形，所以. （2）解：由（1）知， 又由，根据正弦定理可得， 联立方程组，解得， 因为，所以，， 由余弦定理可得，所以， 所以的面积为. 8．（2023·山东泰安·统考模拟预测）在中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且. (1)求角C的大小； (2)若的平分线交AB于点D，且，，求的面积. 【答案】(