2022—2023学年 北京市九年级数学冲刺训练——挑战最后几道代数几何综合题

初三数学专项训练——代数几何综合题（一） 1．已知：抛物线过点． （1）求抛物线的解析式； （2）将抛物线在直线下方的部分沿直线翻折，图象其余的部分保持不变，得到的新函数图象记为．点在图象上，且． ①求的取值范围； ②若点也在图象上，且满足恒成立，则的取值范围为 ． 2．如图1，在△ABC中，AB＝AC，. 过点A作BC的平行线与∠ABC的平分线交于点D，连接CD． 图1 图2 （1）求证：； （2）点为线段延长线上一点，将射线GC绕着点G逆时针旋转，与射线BD交于点E． ①若，，如图2所示，求证：；②若,，请直接写出的值（用含的代数式表示）． 3. 在平面直角坐标系xOy中，点的坐标是，过点作直线垂直轴，点是直线上异于点的一点，且.过点作直线的垂线，点在直线上，且在直线的下方，.设点的坐标为. （1） 判断△的形状，并加以证明； （2） 直接写出与的函数关系式（不要求写自变量的取值范围）； （3） 延长交（2）中所求函数的图象于点.求证：. 初三数学专项训练——代数几何综合题（二） 1.已知二次函数． （1）求证：不论k为任何实数，该函数的图象与x轴必有两个交点； （2）若该二次函数的图象与x轴的两个交点在点A（1，0）的两侧，且关于x的一元二次方程k2x2＋(2k＋3)x＋1=0有两个不相等的实数根，求k的整数值； （3）在（2）的条件下，关于x的另一方程 x2＋2(a＋k)x＋2a－k2＋6 k－4=0 有大于0且小于3的实数根，求a的整数值． 2.（1）如图1，正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD边上的点，且满足BE=CF，联结AE、BF交于点H..请直接写出线段AE与BF的数量关系和位置关系； （2）如图2，正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD边上的点，联结BF，过点E作EG⊥BF于点H，交AD于点G，试判断线段BF与GE的数量关系，并证明你的结论； （3）如图3，在（2）的条件下，联结GF、HD. 求证：①FG+BE≥BF; ②∠HGF=∠HDF. 图3 图2 图1 3.已知抛物线的最低点A的纵坐标是3，直线经过点A，与y轴交于点B，与x轴交于点C. （1）求抛物线与直线AB的解析式. （2）将直线AB绕点O顺时针旋转90°，与x轴交于点D，与y轴交于点E，求sin∠BDE的值. （3）过B点作x轴的平行线BG,点M在直线BG上，且到抛物线的对称轴的距离为6，设点N在直线BG上，请你直接写出使得∠AMB+∠ANB=450的点N的坐标. 第25题图 初三数学专项训练——代数几何综合题（三） 1．已知关于的方程. （1）求证：此方程总有两个实数根； （2）设抛物线与轴交于点M，若抛物线与x轴的一个交点关于直线y=-x的对称点恰好是点M，求的值. 2．在Rt△ABC中，AB=BC，∠B=90°，将一块等腰直角三角板的直角顶点O放在斜边AC上，将三角板绕点O旋转． （1）当点O为AC中点时， ①如图1， 三角板的两直角边分别交AB，BC于E、F两点，连接EF，猜想线段AE、CF与EF之间存在的等量关系（无需证明）； ②如图2， 三角板的两直角边分别交AB，BC延长线于E、F两点，连接EF，判断①中的猜想是否成立．若成立，请证明；若不成立，请说明理由； （2）当点O不是AC中点时，如图3,，三角板的两直角边分别交AB，BC于E、F两点，若， 求的值．C O B A O E 图1 F B A O C E F A B C E F 图2 图3 25．如图，把△OAB放置于平面直角坐标系xOy中，，，把△OAB沿轴的负方向平移2OA的长度后得到△DCE. （1）若过原点的抛物线经过点B、E，求此抛物线的解析式； （2）若点在该抛物线上移动，当点P在第一象限内时，过点作轴于点，连结.若以、、为顶点的三角形与以B、C、E为顶点的三角形相似，直接写出点的坐标； （3）若点M(-4，n) 在该抛物线上，平移抛物线，记平移后点M的对应点为M′，点B的对应点为B′． 当抛物线向左或向右平移时，是否存在某个位置，使四边形M′B′CD的周长最短？若存在，求出此时抛物线的解析式；若不存在，请说明理由． A O x B C D y E 初三数学专项训练——代数几何综合题（四） 1． 已知二次函数的图象C1与x轴有且只有一个公共点. （1）求C1的顶点坐标； （2）将C1向下平移若干个单位后，得抛物线C2，如果C2与x轴的一个交点为A（—3，0），求C2的函数关系式，并求C2与x轴的另一个交点坐标； （3）若直接写出实数n的取值范围. 解： 2. 如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对