8.3.2 独立性检验 学案-2022-2023学年高中数学选择性必修第三册人教A版-第八章成对数据的统计分析

选择性必修第三册人教a版 第八章成对数据的统计分析 8.3列联表与独立性检验 8.3 列联表与独立性检验 8.3.2 独立性检验 目标要求 1. 结合具体实例，了解独立性检验及其方法； 2. 理解并掌握 的运算公式和通过临界值解决实际问题； 3. 通过理解相关概念培养数学抽象素养，通过 的运算公式，提高数据分析和数学运算的核心素养. 导语 根据随机事件频率的稳定性推断两个分类变量之间是否有关联，对于随机样本而言，因为频率具有随机性，频率与概率之间存在误差，所以我们的推断可能犯错误，而且在样本容量较小时，犯错误的可能性会较大. 因此，需要找到一种更为合理的推断方法， 同时也希望能对出现错误推断的概率有一定的控制或估算. 新知探索 探究一 零假设 思考：考虑以为样本空间的古典概型. 设和为定义在上，取值于的成对分类变量. 如何判断事件和之间是否有关联？ 零假设的定义：我们需要判断下面的 是否成立，通常称为零假设或 (null hypothesis) 。 可以用概率语言将零假设改述为 分类变量与独立。 证明：请你利用条件概率和独立时间的概率公式证明H0：变量X和Y独立。 探究二 独立性检验 假定通过简单随机抽样得到分类变量与的列联表 X Y 合计 Y=0 Y=1 X=0 a b a+b X=1 c d c+d 合计 a+c b+d a+b+c+d 思考1：如何运用列联表中的数据，构造适当的统计量，对成对分类变量和是否相互独立作出推断？ 获得统计量： 统计学家建议，用随机变量取值的 作为判断零假设是否成立的依据，当它比较大时推断 ，否则认为 . 思考2：究竟大到什么程度，可以推断不成立呢?或者说，怎样确定判断大小的标准呢? 对于任何小概率值，可以找到相应的 实数，使得下面关系成立： ，我们称为的 ，这个临界值就可作为判断大小的标准. 结论：基于小概率值的检验规则 （1）当时，我们就推断 成立，即认为和 ，该推断犯错误的概率 ； （2）当时，我们没有充分证据推断不成立，可以认为和 . 这种利用的取值推断 的方法称为独立性检验，读作 “卡方独立性检验”，简称独立性检验(test of independence). 下表给出了独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值. 0.1 0.05 0.005 0.001 2.706 6.635 典例研讨 题型一 独立性检验的理解 例1．在研究打鼾与患心脏病之间的关系中，通过收集数据、整理分析数据得到“打鼾与患心脏病有关”的结论，并且根据小概率值的独立性检验认为这个结论是成立的.下列说法中正确的是( ). A.100个心脏病患者中至少有99人打鼾 B.1个人患心脏病，则这个人有99%的概率打鼾 C.100个心脏病患者中一定有打鼾的人 D.100个心脏病患者中可能一个打鼾的人都没有 题型二 2×2列联表 例2. 依据小概率值的独立性检验，分析例1中的抽样数据，能否据此推断两校学生得数学成绩优秀率有差异？ 学校X 数学成绩Y 合计 不优秀Y=0 优秀Y=1 甲校X=0 33 10 43 乙校X=1 38 7 45 合计 71 17 88 思考：利用频率比较和独立性检验计算的结论为什么会不同呢？ 例3. 某儿童医院用甲、乙两种疗法治疗小儿消化不良.采用有放回简单随机抽样的方法对治疗情况进行检查，得到了如下数据：抽到接受甲种疗法的惠儿67名，其中未治愈15名，治愈52名；抽到接受乙种疗法的患儿69名，其中未治愈6名，治愈63名. 试依据小概率值的独立性检验，分析乙种疗法的效果是否比甲种疗法好. 限时训练（15分钟） 1. 判断正误. (1)在独立性检验中，若越大，则两个分类变量有关系的可能性越大.( ) (2)应用独立性检验的基本思想对两个变量间的关系作出的推断一定是正确的.( ) 2. 为研究吸烟是否与肺癌有关，某肿瘤研究所采取有放回简单随机抽样的方法，调查了9 965人，得到成对样本观测数据的分类统计结果，如表所示.依据小概率值的独立性检验，分析吸烟是否会增加患肺癌的风险. 吸烟 肺癌 合计 非肺癌者 肺癌者 非吸烟者 7775 42 7817 吸烟者 2099 49 2148 合计 9874 91 9965 3 .随着生活水平的