第五章 生活中的轴对称（题型过关）-【高分突破系列】2022-2023学年七年级数学下册同步知识点剖析精品讲义（北师大版）

第五章 生活中的轴对称   【题型一】探索轴对称的性质 典例1．如图，长方形纸片ABCD，点E，F，C分别在边AD，AB，CD上．将∠AEF沿折痕EF翻折，点A落在点A'处；将∠DEG沿折痕EG翻折，点D落在点D'处． （1）如图1，若∠AEF＝40°，∠DEG＝35°，求∠A'ED'的度数； （2）如图1，若∠A'ED'＝α，求∠FEG的度数（用含α的式子表示）； （3）如图2，若∠A'ED'＝α，求∠FEG的度数（用含α的式子表示）． 1．将书页的一角斜折过去，使角的顶点A落在A'处，BC为折痕，BD平分∠A'BE． (1)求∠CBD的度数； (2)若∠A'BE=120°，求∠CBA的度效． 2．如图，和关于直线l对称，已知，，DF＝5．求∠F的度数和AC的长． 3．如图，在△ABC中，AB=AC，D、E是BC边上的点，连接AD，AE，以△ADE的边AE所在直线为对称轴作△ADE的轴对称图形△AD′E，连接D′C，若BD=CD′； （1）求证：△ABD≌△ACD′； （2）若∠BAC=120°，求∠DAE的度数． 4．如图，△ABC和△ADE关于直线MN对称，BC与DE的交点F在直线MN上． (1)图中点C的对应点是点　　，∠B的对应角是　　； (2)若DE＝5，BF＝2，则CF的长为　　； (3)若∠BAC＝108°，∠BAE＝30°，求∠EAF的度数． 5．同学们，我们已经学习了角的平分线的定义，请你用它解决下列问题： (1)如图1，已知∠AOC，若将∠AOC沿着射线OC翻折，射线OA落在OB处，则射线OC一定平分∠AOB．理由如下： 因为∠BOC是由∠AOC翻折而成，而翻折不改变图形的形状和大小，所以∠BOC=______，所以射线______是∠AOB的平分线； (2)如图2，将长方形纸片的一角作折叠，使顶点A落在A′处，EF为折痕． ①若EA′恰好平分∠FEB，求出∠FEB的度数； ②过点E再将长方形的另一角∠B做折叠，使点B落在∠FEB的内部B′处（B′不在射线EA′上），EH为折痕，H为EH与射线BC的交点．请猜想∠A′EF，∠B′EH与∠A′EB′三者的数量关系，并说明理由． 6．已知：如图，是一个长方形的台球面，有、两球分别位于图中所在位置，试问怎样撞击球，才能使先碰到台边反弹后再击中球？在图中画出球的运动线路． 【题型二】等腰三角形的定义 典例2． 等腰三角形中，一腰上的中线把三角形的周长分为和两部分，求此三角形的腰和底边的长． 1．在中，，为的中线，且将周长分为12cm与15cm两部分，求三角形各边长． 2．如图，在ABC中，AB=AC=2，∠B=∠C=40°，点D在线段BC上运动（D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE=40°，DE交线段AC于E． (1)当∠BDA=100°时，∠DEC= °；点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变 （填“大”或“小”）； (2)当DC等于多少时，ABD≌DCE，请说明理由； (3)点D在运动过程中，ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请求出∠BDA的度数；若不可以，请说明理由． 3．如图所示，已知在中，，，，现将沿射线方向平移到的位置．若平移距离为，求与的重叠部分的面积． 【题型三】等腰三角形的性质与判定 典例3．如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=30°，线段AB的垂直平分线MN交BC于D，求证：CD=2BD． 1．如图，在中，，点D，E分别在边AB，AC上，，连结CD，BE． （1）若，求，的度数． （2）写出与之间的关系，并说明理由． 2．如图，AB∥CD，点E在CB的延长线上，∠A=∠E，AC=ED． (1)求证：BC=CD； (2)连接BD，求证：∠ABD=∠EBD． 3．综合与实践： (1)问题发现如图1，和均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE．请写出的度数及线段之间的数量关系，并说明理由． (2)类比探究：如图2，和均为等腰直角三角形，，点A，D，E在同一直线上，CM为中DE边上的高，连接BE． 填空：①的度数为_______； ②线段之间的数量关系为_________，并说明理由． (3)拓展延伸；在（2）的条件下，若，求四边形ABEC的面积． 4．如图1，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一点，且与点B，C不重合，连接AD．作以∠FAD为直角的等腰直角△ADF． (1)若AB＝AC，∠BAC＝90° ①当点D在线段BC上时，试探讨CF与BD的数量关系和位置关系； ②当点D在线段BC的延长线上时，如图2，①中的结论是否仍然成立，请说明理由； (2)若AB≠AC，∠BAC≠90°，点D在线段BC．上，且CF⊥BD时，如图3，试求∠BCA的度数． 5．如图，在中，，，边沿着过点的某条直线对折得到，连接，以为边在左侧