第四章 三角形（题型过关）-【高分突破系列】2022-2023学年七年级数学下册同步知识点剖析精品讲义（北师大版）

第四章 三角形   【题型一】三角形的三边关系 典例1．如图，在△BCD中，BC＝4，BD＝5． (1)求CD的取值范围； (2)若AE∥BD，∠A＝50°，∠BDE＝130°，求∠C的度数． 1．已知△ABC的三边长分别为1，4，a，化简：． 2．（1）已知一个三角形的两边长分别是4cm、7cm，则这个三角形的周长的取值范围是什么？ （2）在等腰三角形ABC中，AB＝AC，周长为14cm，BD是AC边上的中线，△ABD比△BCD周长长4cm，求△ABC各边长． 3．在立方体纸盒的顶点A处有一只蚂蚁，在另一顶点E处有一粒糖，你能为这只蚂蚁设计一条最短路线，使它沿着立方体表面上的这一条路线爬行，最快捷吃到糖吗？以下提供三个方案： (1)三种方案①、②、③中爬行路线最短的方案是 ；最长的方案是 ． (2)请根据数学知识说明理由： ． 【题型二】与三角形中位线有关的计算 典例2．如图所示，已知AD，AE分别是△ABC的高和中线，AB=10cm，AC=24cm，BC=26cm，∠CAB=90°． (1)求△ACE与△ABE的周长的差； (2)求AD的长． 1．如图，已知AD，AE分别是△ABC的高和中线，AB＝3cm，AC＝4cm，BC＝5cm，∠CAB＝90°，求： （1）AD的长； （2）△ACE和△ABE的周长的差． 2．如图，AD为的中线，点E在AD上，AE=2ED． (1)当，时，求的度数； (2)若的面积为30，求的面积． 3．如图，中，，AC＝8cm，BC＝6cm，AB＝10cm，若动点P从点C开始，按的路径运动，且速度为每秒2cm．设运动的时间为t秒． (1)______． (2)当t＝______秒时，CP把的周长分成相等的两部分？ (3)当t＝______秒时，CP把的面积分成相等的两部分？ (4)当t为何值时，的面积为12？ 4．如图，在的网格中，每一个小格都是边长为1的正方形，的顶点均在格点上． (1)画出的中线； (2)画出边上的高； (3)直接写出的面积________． 【题型三】三角形外角性质 典例3．如图1，，，，求的度数．小明的思路是：过P作，通过平行线性质来求． (1)按小明的思路，求的度数； (2)如图2，，点P在射线上运动，记，，当点P在B、D两点之间运动时，问与α、β之间有何数量关系？请说明理由； (3)在（2）的条件下，如果点P在B、D两点外侧运动时（点P与点O、B、D三点不重合），请直接写出与α、β之间的数量关系（并画出相应的图形）． 1．在如图所示的星形中，，，，，求k的值． 2．【阅读理解】题目：如图①，∠ABE和∠DCE的边AB与CD互相平行，边BE与CE交于点E．若，，求∠BEC的度数． 老师在黑板中写出了部分求解过程，请你完成下面的求解过程，并填空（理由或数学式）． 解：如图②，过点E作． ∴（）． ∵， ∴． ∵（）， ∴（）． ∴（） ∵， ∴． ∴（）° 【问题迁移】如图③，D、E分别是∠ABC边AB、BC上的点，在直线DE的右侧作DE的平行线分别交边BC、AB于点F、G．P是线段DG上一点，连结PE、PF．若，，求∠EPF的度数． 【拓展应用】如图④，D、E分别是∠ABC边AB、BC上的点，在直线DE的右侧作DE的平行线分别交边BC、AB于点F、G．P是射线DG上一点，连结PE、PF．若，，直接写出∠EPF与、之间的数量关系． 3．如图1，△ABC的外角平分线交于点F． （1）若∠A＝40°，则∠F的度数为　 　； （2）如图2，过点F作直线MN∥BC，交AB，AC延长线于点M，N，若设∠MFB＝α，∠NFC＝β，则∠A与α+β的数量关系是　 　； （3）在（2）的条件下，将直线MN绕点F转动． ①如图3，当直线MN与线段BC没有交点时，试探索∠A与α，β之间的数量关系，并说明理由； ②当直线MN与线段BC有交点时，试问①中∠A与α，β之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请给出三者之间的数量关系． 4．如图，已知，直线与交于点，与交于点，射线和射线交于点． (1)若平分，平分，，则______； (2)若，，，则______； (3)将（2）中“”改为“”，其余条件不变，求的度数（用含的代数式表示）； (4)若将分成两部分，也将分成两部分，，则的度数=______________________（用含的代数式表示）． 【题型四】证明两个三角形全等 典例4．如图，中，AD是BC边上的中线，E，F为直线AD上的点，连接BE，CF，且． (1)求证：≌； (2)若，，试求DE的长． 1．如图，已知，，．求证：． 2．如图，在ΔABC中． AD是BC边上的中线，交BC于点D． (1)如图①，延长AD到点E，使DE=AD，连接BE． 求证：ΔACD≌Δ