第09讲 根的判别式及其应用-【暑假自学课】2023年新八年级数学暑假精品课（沪教版，上海专用）

第09讲 根的判别式及其应用 运用根的判别式，判别方程根的情况 会运用根的判别式求一元二次方程中字母系数的取值范围 掌握韦达定理 模块一：判别式的值与根的关系 1. 一元二次方程根的判别式：我们把叫做一元二次方程的根的判别式，通常用符号“”表示，记作． 2. 一元二次方程， 当时，方程有两个不相等的实数根； 当时，方程有两个相等的实数根； 当时，方程没有实数根． 【例1】 不解方程，判别下列方程的根的情况： （1）； （2）； （3）； （4）． 【例2】 关于的方程（其中是实数）一定有实数根吗？为什么？ 【例3】 已知关于的方程有两个相等的实数根，求的值及方程的根． 【例4】 已知关于的方程． （1）有两个不相等的实根，求的取值范围； （2）有两个相等的实根，求的值，并求出此时方程的根； （3）有实根，求的最大整数值． 模块二：根的判别式的应用 （1）不解方程判定方程根的情况； （2）根据参数系数的性质确定根的范围； （3）解与根有关的证明题． 【例5】 当为何值时，方程， （1）有两个不相等的实数根；（2）有两个相等的实数根；（3）没有实数根． 【答案】【答案】已知关于的方程总有实数根，求的取值范围． 【例6】 已知，关于的一元二次方程， （1）若，求证：方程有两个不相等的实数根； （2）若的整数，且方程有两个整数根，求的值． 模块三：韦达定理 韦达定理：如果是一元二次方程 的两个根,由解方程中的公式法得, ，． 那么可推得． 这是一元二次方程根与系数的关系． 【例7】 写出下列一元二次方程（方程的根为）的两实数根的和与两实数根的积 （1），________；________； （2）， ________；________． 【例8】 已知是方程的一个根，求另一根及值． 【答案】【答案】 【例9】 已知是方程的两个根，分别根据下列条件求出的值． （1）； （2）． 【例10】 设是方程的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值． （1）； （2）； （3）； （4）； （5）． 一、单选题 1. （2022秋·上海宝山·八年级校考期中）关于x的一元二次方程的根的情况（    ） A．有两个不相等的实数根； B．有两个相等的实数根； C．没有实数根； D．不能确定． 2. （2022秋·上海虹口·八年级校考期中）如果关于x的二次三项式在实数范围内能分解因式，那么a的取值范围是（    ） A． B． C． D．且 3. （2022秋·上海虹口·八年级校考期中）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是(　　) A． B． C．且 D．且 4. （2023秋·上海静安·八年级上海市风华初级中学校考期末）下列关于的方程中，一定有实数根的方程是（    ） A． B． C． D． 5. （2023春·上海·八年级期中）方程组解的情况是（    ） A．有两组不同的实数解 B．有两组相同的实数解 C．没有实数解 D．不能确定 6. （2022秋·上海·八年级期末）已知为实数，则关于的方程的实数根情况一定是（　　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个实数根 D．没有实数根 二、填空题 7. （2022秋·上海青浦·八年级校考期末）如果关于的一元二次方程有实数根，那么的取值范围是________． 8. （2022秋·上海宝山·八年级校考期中）关于x的方程的根的判别式是_____________． 9. （2022秋·上海普陀·八年级校考期中）若关于的方程（）有两个相等的实数根，则代数式的值是______． 三、解答题 10. （2022秋·上海嘉定·八年级统考期末）已知关于的方程． (1)当为何值时，此方程有实数根； (2)选择一个你喜欢的的值，并求解此方程． 11. （2022秋·上海普陀·八年级校考期中）已知关于x的一元二次方程有两个实数根 (1)求m的取值范围； (2)请写出m的最小整数值，并求出此时方程的根. 12. （2022秋·上海虹口·八年级校考期中）若m为非负整数，且一元二次方程有两个实数根，求m的值和这时方程的根． 13. （2022秋·上海宝山·八年级校联考期末）关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，求的值并求出方程的根（2022秋·上海·八年级校考期中）已知关于x的方程有两个不相等的实数根． (1)求m的取值范围； (2)如果m为非负整数，且该方程的根都是整数，求m的值． 1. 下列关于x的二次三项式中，一定能在实数范围内因式分解的是（    ） A． B． C． D． 2. 下列方程中，有实数解的是（    ） A． B． C．