第08讲 一元二次方程求根公式及解法综合-【暑假自学课】2023年新八年级数学暑假精品课（沪教版，上海专用）

第08讲 一元二次方程求根公式及解法综合 掌握一元二次方程求根公式解法 重点是对一元二次方程求根公式的推导和解方程的理解 难点是求根公式在解一元二次方程中的灵活应用 结合之前所学的开平方法、因式分解法及配方法进行解法综合应用 模块一：一元二次方程求根公式 1、 公式引入 一元二次方程（），可用配方法进行求解： 得：． 对上面这个方程进行讨论：因为，所以 1 当时， 利用开平方法，得：， 即： 2 当时， 这时，在实数范围内，x取任何值都不能使方程左右两边的值相等，所以原方程没有实数根． 2、 求根公式 一元二次方程（），当时，有两个实数根： ， 这就是一元二次方程（）的求根公式． 3、 用公式法解一元二次方程一般步骤 1 把一元二次方程化成一般形式（）； 2 确定a、b、c的值； 3 求出的值（或代数式）； 4 若，则把a、b、c及的值代入求根公式，求出、；若，则方程无解． 【例1】 用公式法解下列方程： （1）； （2）． 【例2】 用公式法解下列方程： （1）； （2）． 【例3】 用公式法解关于x的方程：． 【例4】 观察求根公式，求出的值，并用得到的结果求解： 设a、b是方程的两个实数根，求的值． 模块二：一元二次方程解法综合 1、 一元二次方程解法总结 1 开平方法：形如及的一元二次方程，移项后直接开平方法解方程． 2 因式分解法：通过因式分解，把一元二次方程化成两个一次因式的积等于零的形式，从而把解一元二次方程的问题转化为解一元一次方程的问题，即：若，则或． 3 配方法：通过添项或拆项，把方程左边配成完全平方式，剩余的常数项全部移到方程右边，再通过开平方法求出方程的解 即：，再用开平方法求解． 4 公式法：用求根公式解一元二次方程 一元二次方程，当时，有两个实数根： 【例5】 口答下列方程的根： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 【例6】 用开平方法解下列方程： （1）； （2）． 【例7】 用因式分解法解下列方程： （1） ； （2）． 【例8】 用配方法解下列方程： （1）； （2）． 【例9】 用公式法解下列方程： （1）； （2）． 【例10】 用适当方法解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 一、单选题 1. 已知一元二次方程的两根分别为，，则的值是（　　） A． B． C．3 D．5 2. 已知一元二次方程有两个实数根，则的值为（    ） A．1 B． C．3 D． 3. 若是一元二次方程的一个根，则这个方程的另一个根是（　　） A． B．2 C．3 D．6 4. 已知一元二次方程有两个实数根，则（　　） A． B．1 C． D．5 5. 设是一元二次方程的两个根，则（    ） A．-11 B．4 C．16 D．38 6. 下列方程中，满足两个实数根的和为2的方程是（    ） A． B． C． D． 7. 已知，且有及，则的值为（    ） A． B．2018 C．3 D． 8. 若，是方程的两个根，则（    ） A． B． C． D． 二、填空题 9. 已知m，n是方程的两个根，则代数式的值等于_________． 10. 已知，是关于的方程的两个根，则的值______． 11. 方程的两根为、，则的值等于______ ． 三、解答题 12. 已知方程的两根为，求的值． 13. 已知方程x2+bx+a＝0①，和方程ax2+bx+1＝0②（a≠0）． （1）若方程①的根为x1＝2，x2＝3，求方程②的根； （2）当方程①有一根为x＝r时，求证x＝是方程②的根； （3）若a2b+b＝0，方程①的根是m与n，方程②的根是s和t，求的值． 14. 如果关于的一元二次方程（不为0）有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，我们称这样的方程为倍根方程． (1)若关于的方程是倍根方程，则的值． (2)请写出一个倍根方程，要求二次项系数为1，并求出它的解． (3)关于a的一元二次方程（不为0）是倍根方程，且，请求出此方程的两个根． 1. 已知，是关于的一元二次方程的两实数根，且满足，则的值是（　　） A． B． C．或 D．或 2. 方程的两根分别是和，则方程的两根为（    ） A．0， B．，1 C．， D．，3 3. 若，满足，，且，则的值为______ ． 4. 关于x的一元二次方程的两个实数根分别为2和，则因式分解的结果是__________． 5. 已知是关于的一元二次方程的一个根. (1)求. (2)求此方程的另一个根. 6. 已知，是一元二次方程的两个实数根，且，则称此一元二次方程为三等分根方程，如的两个根分别为，，其中，则是三等分根方程． (1)试判断是否为三等分