第02讲 二次函数y=ax²的图象与性质-【暑假自学课】2023年新九年级数学暑假精品课（浙教版）

第02讲 二次函数y=ax2的图象与性质 1．理解并掌握二次函数的有关概念； 2．学会用描点法画二次函数y=ax2的图象，并能够通过图象概括出二次函数的特征； 3、掌握y=ax2的开口方向、图象与性质，并学会求其最值； 知识点一、二次函数y＝ax2的图象及其性质 【问题1】画出二次函数y＝x2的图象． 1. 列表：在y＝x2中自变量x可以是任意实数，列表表示几组对应值： 2. 描点：根据表中x，y的数值在坐标平面中描点（x，y） 3. 连线：如图，再用平滑曲线顺次连接各点，就得到y ＝ x2 的图象． 二次函数y＝ax2的图象的性质：1）y＝x2是一条抛物线；2）图象开口向上；3）图象关于y轴对称；4）顶点（ 0 ，0 ）；5）图象有最低点． 【问题2】画出函数y＝－x2的图象． 1. 列表：在y＝－x2 中自变量x可以是任意实数，列表表示几组对应值： 2. 描点：根据表中x，y的数值在坐标平面中描点（x，y） 3. 连线：如图，再用平滑曲线顺次连接各点，就得到y ＝ －x2 的图象． 二次函数y＝－x2的图象的性质：1）y＝－x2是一条抛物线；2）图象开口向下；3）图象关于y轴对称；4）顶点（ 0 ，0 ）；5）图象有最高点． 归纳总结：二次函数y＝ax2 的图象性质 y＝ax2 a＞0 a＜0 开口方向 开口向上 开口向下 顶点坐标 （0，0） （0，0） 最值 当x＝0时，y取最小值0 当x＝0时，y取最大值0 增减性 当x＜0时，y随x的增大而减小；当x＞0时，y随x的增大而增大． 当x＜0时，y随x的增大而增大；当x＞0时，y随x的减小而减小． 对称轴 图象关于y轴对称 开口大小 a的绝对值越大，开口越小 知识点二、 二次函数y＝ax2的图象及其性质的应用 二次函数y＝ax2的图象关于y轴对称，因此左右两部分折叠可以重合，在二次函数比较大小中，我们根据图象中点具有的对称性转变到同一变化区域中（全部为升或全部为降），根据图象中函数值高低去比较；对于求不规则的图形面积，采用等面积割补法，将不规则图形转化为规则图形以方便求解． 考点一：二次函数y=ax2的顶点与对称轴问题 例1．抛物线的顶点坐标是（　　） A． B． C． D． 例2．抛物线的对称轴是（    ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【变式训练】 1．抛物线的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 2．已知抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，且经过点，则抛物线的表达式为______． 3．已知是二次函数，且当x<0时，y随x的增大而增大． （1）求k的值； （2）直接写出顶点坐标和对称轴． 考点二：二次函数y=ax2的开口问题 例3．同一坐标系中作的图像，它们的共同特点是（    ） A．关于y轴对称，抛物线开口向上 B．关于y轴对称，抛物线开口向下 C．关于y轴对称，抛物线的顶点在原点 D．关于x轴对称，抛物线的顶点在原点 【变式训练】 1．函数，，中，图象开口大小的顺序是（ ） A． B． C． D． 2．如果抛物线的开口方向向下，那么a的取值范围是 _____． 轴和顶点坐标分别是什么？先想一想，如果需要，画图看一看．二次函数的图象与二次函数的图象呢？ 考点三：二次函数y=ax2的增减性问题 例4．已知二次函数，当时，随的增大而减小，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．抛物线，，共有的性质是（    ） A．开口方向相同 B．开口大小相同 C．当时，随的增大而增大 D．对称轴相同 2．已知抛物线在对称轴左侧的部分是下降的，那么a的取值范围是___________． 3．已知二次函数y= -（x-1）2 （1）画出这个函数的图象； （2）由图象可知，当x___时，y随x增大而减小，当x=___，y有最___值为___． 考点四：二次函数y=ax2的图象问题 例5．二次函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．下列图象中，是二次函数的图象的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，的图象上可以看出，当时，y的取值范围是________． 3．如图，直线与y轴交于点A，与抛物线y＝ax2交于B，C两点，且点B坐标为（2，2）． (1)求a，b的值； (2)连接OC、OB，求△BOC的面积． 考点五：二次函数y=ax2的最值问题 例6．下列关于函数的叙述中，错误的是（   ） A．有最大值 B．图象的对称轴是轴 C．当时，随的增大而增大 D．图象的顶点是原点 【变式训练】 1．已知二次函数有最大值，则a的值为（　　） A． B． C． D．0 2．已知原点是抛物线的最低点，则m的范围是_____． 3．已知函数是关于的