专题05二次函数与一元二次方程（3个知识点7种题型1个易错点）-【倍速学习法】2023-2024学年九年级数学核心知识点与常见题型通关讲解练（沪科版）

专题05二次函数与一元二次方程（3个知识点7种题型1个易错点） 【目录】 倍速学习四种方法 【方法一】 脉络梳理法 知识点1抛物线与x轴的交点 知识点2用图像法求一元二次方程的近似解 知识点3二次函数与不等式（组) 【方法二】 实例探索法 题型1交点坐标 题型2二次函数与x轴交点个数问题 题型3利用函数图象解方程、不等式 题型4利用函数图象求一元二次方程中字母的取值范围 题型5二次函数与方程组、不等式组综合应用 题型6二次函数与几何问题的综合应用 题型7二次函数与一次函数、一元二次方程的综合应用 【方法三】 差异对比法 易错点1抛物线与X轴交点 【方法四】 成果评定法 【倍速学习四种方法】 【方法一】脉络梳理法 一．抛物线与x轴的交点 求二次函数，，是常数，与轴的交点坐标，令，即，解关于的一元二次方程即可求得交点横坐标． （1）二次函数，，是常数，的交点与一元二次方程根之间的关系． △决定抛物线与轴的交点个数． △时，抛物线与轴有2个交点； △时，抛物线与轴有1个交点； △时，抛物线与轴没有交点． （2）二次函数的交点式：，，是常数，，可直接得到抛物线与轴的交点坐标，，，． 二．图象法求一元二次方程的近似根 利用二次函数图象求一元二次方程的近似根的步骤是： （1）作出函数的图象，并由图象确定方程的解的个数； （2）由图象与y＝h的交点位置确定交点横坐标的范围； （3）观察图象求得方程的根（由于作图或观察存在误差，由图象求得的根一般是近似的）． 三．二次函数与不等式（组) 二次函数、、是常数，与不等式的关系 ①函数值与某个数值之间的不等关系，一般要转化成关于的不等式，解不等式求得自变量的取值范围． ②利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解． 【方法二】实例探索法 题型1交点坐标 1．定远县校级一模）如图，抛物线与轴交于点，顶点坐标为，与轴的交点在和两点之间（不包含端点）．下列结论中： ①；②；③；④一元二次方程的两个根分别为方，．正确的个数有　　 ．1 ．2 ．3 ．4 2．秋蒙城县期末）如图，抛物线与轴交于点，两点，与轴负半轴交于点，其顶点为，点，分别是，的中点，若与的面积比为，则的值为　　 ． ． ． ． 3．雨山区校级一模）已知一元二次方程的两根是和2，则抛物线的对称轴为 　 　． 4．合肥一模）如图，我们把一个半圆与抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆”．已知点、、、分别是“果圆”与坐标轴的交点，抛物线的解析式为，为半圆的直径，则这个“果圆”被轴截得的线段的长为　 　． 题型2二次函数与x轴交点个数问题 5．凤台县校级二模）已知函数为常数）． （1）该函数的图象与轴公共点的个数是 　 　． （2）当时，该函数图象的顶点纵坐标的取值范围 　　 ． 6．庐阳区一模）若二次函数的图象与轴只有一个交点，则的值为 　　． 7．秋颍州区期末）若抛物线与轴有两个交点，则的取值范围是 　 ． 8．秋颍州区校级期末）二次函数与轴有交点，则的取值范围是　　 ． 9．花山区一模）若关于函数的图象与轴有唯一公共点，则　 　． 10．金安区校级二模）抛物线的对称轴为直线． （1）　　； （2）若抛物线在内与轴只有一个交点，则的取值范围是 　　 ． 11．合肥模拟）已知关于的抛物线，其中为实数． （1）求证：该抛物线与轴没有交点； （2）若与轴平行的直线与这条抛物线相交于，两点（点在点的左侧），已知点到轴的距离为，求点到轴的距离； （3）设这条抛物线的顶点的纵坐标为，当时，求的取值范围． 12．蚌山区模拟）某班“数学兴趣小组”对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整： （1）自变量的取值范围是全体实数，与的几组对应值列表如下： 0 1 2 3 3 0 0 3 其中，　　． （2）根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分． （3）探究函数图象发现： ①函数图象与轴有　　个交点，所以对应的方程有　　个实数根； ②方程有　　个实数根； ③关于的方程有4个实数根时，的取值范围是　　 ． 题型3利用函数图象解方程、不等式 13．秋庐阳区月考）一次函数与二次函数的图象如图所示，则不等式的解集为　　 ． ． ． ．或 14．秋天长市校级期末）如图是二次函数图象的一部分，有下列4个结论：①；②；③关于的方程的两个根是，；④关于的不等式的解集是．其中正确的结论有　　个． ．1 ．2 ．3 ．4