第09讲 零点判断中的取点技巧（内点效应、放缩取点）-备战2024年高考数学《解读•突破•强化》一轮复习讲义（新高考专用）

第9讲 零点判断中的取点技巧 利用零点存在定理判断函数零点的个数是导数压轴题中的命题热点，同时也是考生不易掌握的公认难点，当使用零点存在定理时，我们需要找到函数值异号的两个点．而“如何取点（找点）？”，却是一只不折不扣的拦路虎！特别是含参函数的取点问题，表面上具有相当的难度与技巧性（参考答案中的取点简直是神来之笔），实则有其基本原理．掌握其中的逻辑，则可以轻松面对． 本讲义以近几年的高考题和模拟题为例，谈谈取点的基本原理和逻辑，总结取点攻略。 方法一 巧取特殊值 当我们在取点过程中，可先考虑选取一些特殊点进行判断，但这里的“巧取特殊点”不是指“瞎猜胡蒙”，而是建立在推理分析的基础上，如考虑区间端点（如果可以取到），其次是一些特殊值，如解析式含有指数、对数或三角函数时，可考虑参数无关的点，如0，1，e ，等． 最后考虑含参数的点．这时的取点原则是将解析式中含参项去参为常，如果不成，则退而求其次，通过选点使解析式中含参项的代入结果尽量简化，再配合解析式中不含参的项，进行必要的调整． 例1. 当时，讨论f(x)＝lnx－ax的零点个数． 【对点演练】（2023·浙江温州·统考三模）已知函数. (1)证明：函数在上有且只有一个零点； 方法二 内点效应 内点效应概述：函数，定义在区间上 （1） 若，则取任意的，则不等式组有解，且这个解集中所有的都满足； （2） 若，则取任意的，则不等式组有解，且这个解集中所有的都满足； 下面我们举一个例子说明一下内点效应的应用： 问题1：已知试在上找一个值，满足。 取点分析因为时，，时，，故寻找的点应选择区间的左端点分析 由得，令，因为。则，取，则不等式的解满足， 不等式化为，取，则， 故 问题2 已知试在上找一个值，满足。 分析：因为时，，时，，故寻找的点应选择区间的右端点分析 令，当时，，故取值区间为，取，则不等式组 取，则 故是一个满足条件的值。 内点效应将一个不可解的不等式转化为一个可解的不等式处理，灵活利用内点效应，可以帮助我们解决在使用零点存在定理判断根的存在性时的取点问题，下面我们再通过例题，分析一下内点效应的应用。 例1（2019年全国2卷改编）已知函数，判断函数在定义域上零点的个数。 ． 方向二 放缩取点 原理其实很简单，若直接找点不容易，但可通过放缩将f(x)放缩成一个容易解方程的函数，注意最后需证明x1在规定的定义域内。 其实放缩取点法的关键就两个，一是分清对谁放缩，二是根据增减速率不同选择合适的放缩方法，基本原则是不能改变函数的变化趋势。 角度1 根据函数的有界性放缩 利用有界性来放缩，即根据给定定义域范围下某些函数的范围进行放缩，例如当a>0且x∈[1,2]时，a≤ax≤2a，又或者|sinx|≤1，这种放缩是把函数放缩成具体的数字， 例2（2018年全国二卷）已知函数． （1）若，求的单调区间； （2）证明：只有一个零点． 角度2 切线放缩 切线放缩的实质时将指数函数、对数函数放缩为一次函数，即化曲为直，常用的放缩不等式有，，。 例3已知函数ae2x+(a﹣2) ex﹣x. （1）讨论的单调性； （2）若有两个零点，求a的取值范围. 角度3 曲线放缩 曲线放缩的实质就是化曲为曲，当曲线不能放缩为直线时，可考虑放缩为曲线，常用的放缩不等式有，，，。至于选择哪种放缩形式并无定论，依题而定，很具有灵活性。 例4（2020年全国I卷）已知函数. （1）当时，讨论的单调性； （2）若有两个零点，求的取值范围. 【对点演练】(2018年全国II卷）)已知函数f(x)=ex-ax2. (1)若a=1,证明:当x≥0时,f(x)≥1; (2)若f(x)在(0,+∞)只有一个零点,求a. 【巩固训练】 1．已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若有两个零点，求的取值范围． 2．已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若有两个零点，求的取值范围． 3．已知函数为自然对数的底数，且． （1）讨论的单调性； （2）若有两个零点，求的取值范围． 4．已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若有两个零点，求的取值范围． 5．已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若有两个不同的零点，求的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $ 第9讲 零点判断中的取点技巧 利用零点存在定理判断函数零点的个数是导数压轴题中的命题热点，同时也是考生不易掌握的公认难点，当使用零点存在定理时，我们需要找到函数值异号的两个点．而“如何取点（找点）？”，却是一只不折不扣的拦路虎！特别是含参函数的取点问题，表面上具有相当的难度与技巧性（参考答案中的取点简直是神来之笔），实则有其基本原理．掌握其中的逻辑，则可以轻松面对． 本讲义以近几年的高考题和模拟题为例，谈谈取点