专题06 数列大题综合-【冲刺双一流之大题必刷】备战2024年高考数学冲刺双一流之大题必刷满分冲刺（北京专用）

专题06�数列大题综合（北京专用） 一、解答题 1．（2023·北京·统考模拟预测）已知数列的前n项和为，且对任意正整数，都有． (1)求数列的通项公式； (2)设，数列的前项和为，求的最大值． 2．（2023·北京·统考模拟预测）已知数列的前n项和为，在数列中，，，． (1)求数列，的通项公式； (2)设，为数列的前n项和，求的最值． 3．（2023·北京·统考模拟预测）正整数集合，且，，中所有元素和为，集合. (1)若，请直接写出集合； (2)若集合中有且只有两个元素，求证“为等差数列”的充分必要条件是“集合中有个元素”； (3)若，求的最小值，以及当取最小值时，最小值. 4．（2023·北京·人大附中校考三模）有穷数列{}共m项()．其各项均为整数，任意两项均不相等．，． (1)若{}：0，1，．求的取值范围； (2)若，当取最小值时，求的最大值； (3)若，，求m的所有可能取值． 5．（2023·北京通州·统考三模）已知：正整数列各项均不相同，，数列的通项公式 (1)若，写出一个满足题意的正整数列的前5项： (2)若，求数列的通项公式； (3)证明若，都有，是否存在不同的正整数，j，使得，为大于1的整数，其中. 6．（2023·北京海淀·校考三模）已知有限数列，从数列中选取第项、第项、、第项（），顺次排列构成数列，其中，，则称新数列为的长度为m的子列．规定：数列的任意一项都是的长度为1的子列，若数列的每一子列的所有项的和都不相同，则称数列为完全数列．设数列满足，． (1)判断下面数列的两个子列是否为完全数列，并说明由； 数列①：3，5，7，9，11；数列②：2，4，8，16． (2)数列的子列长度为m，且为完全数列，证明：m的最大值为6； (3)数列的子列长度，且为完全数列，求的最大值． 7．（2023秋·北京石景山·高三统考期末）已知项数为的有穷数列满足如下两个性质，则称数列具有性质P； ①； ②对任意的、，与至少有一个是数列中的项． (1)分别判断数列、、、和、、、是否具有性质，并说明理由； (2)若数列具有性质，求证：； (3)若数列具有性质，且不是等比数列，求的值． 8．（2023秋·北京丰台·高三统考期末）设为正实数，若各项均为正数的数列满足：，都有．则称数列为数列． (1)判断以下两个数列是否为数列： 数列：3，5，8，13，21； 数列：，，5，10． (2)若数列满足且，是否存在正实数，使得数列是数列？若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由． (3)若各项均为整数的数列是数列，且的前项和为150，求的最小值及取得最小值时的所有可能取值． 9．（2023秋·北京东城·高三统考期末）已知数列：，，…，满足：（，2，…，，），从中选取第项、第项、…、第项（，）称数列，，…，为的长度为的子列.记为所有子列的个数.例如：0，0，1，其. (1)设数列：1，1，0，0，写出的长度为3的全部子列，并求； (2)设数列：，，…，，：，，…，，：，，…，，判断，，的大小，并说明理由； (3)对于给定的正整数，（），若数列：，，…，满足：，求的最小值. 10．（2023·北京西城·北师大实验中学校考三模）若项数为的数列满足：，且存在，使得，则称数列具有性质P. (1)①若，写出所有具有性质P的数列； ②若，写出一个具有性质P的数列； (2)若，数列具有性质P，求的最大项的最小值； (3)已知数列均具有性质P，且对任意，当时，都有．记集合，，求中元素个数的最小值. 11．（2023秋·北京海淀·高三统考期末）对于一个有穷正整数数列，设其各项为，各项和为，集合中元素的个数为. (1)写出所有满足的数列； (2)对所有满足的数列，求的最小值； (3)对所有满足的数列，求的最大值. 12．（2023·北京·高三专题练习）已知数列，设，若满足性质：存在常数，使得对于任意两两不等的正整数､､，都有，则称数列为“梦想数列”. (1)若，判断数列是否为“梦想数列”，并说明理由； (2)若，判断数列是否为“梦想数列”，并说明理由； (3)判断“梦想数列”是否为等差数列，并说明理由. 两式相减得： 所以，，当时也成立. 综上可得，“梦想数列”是等差数列. 13．（2023·北京房山·统考二模）若项数为的有穷数列满足：，且对任意的，或是数列中的项，则称数列具有性质． (1)判断数列是否具有性质，并说明理由； (2)设数列具有性质，是中的任意一项，证明：一定是中的项； (3)若数列具有性质，证明：当时，数列是等差数列． 14．（2023·北京西城·北京师大附中校考模拟预测）已知为有限个实数构成的非空集合，设，，记集合和其元素个数分别为，. 设.例如当时，，，，所以. (1)若，求的值； (2)设是由3个正实数组成的集合且，证明：为定值； (