第1.4讲 基本不等式-2024年高考数学一轮复习精讲精练宝典（新高考专用）

第1章 集合、常用逻辑用语、不等式 第1.4讲 基本不等式 1.了解基本不等式的推导过程. 2.会用基本不等式解决简单的最值问题. 3.理解基本不等式在实际问题中的应用． 考向一 利用均值不等式求最值 考向二　均值不等式的常见变形应用 考向三　均值不等式的实际应用 1．基本不等式：≤ (1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0. (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时，等号成立． (3)其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数． 2．几个重要的不等式 (1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)． (2)＋≥2(a，b同号)． (3)ab≤2 (a，b∈R)． (4)≥2 (a，b∈R)． 以上不等式等号成立的条件均为a＝b. 3．利用基本不等式求最值 (1)已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2. (2)已知x，y都是正数，如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2. 注意：利用基本不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等”． 题型一 利用均值不等式求最值 1. 配凑法 1．已知，则当取最大值时，的值为（    ） A． B． C． D． 2．当时， 的最小值为10，则（    ） A．1 B． C．2 D．4 3．函数的值域是（    ） A． B． C． D． 4．已知实数x满足，则的最大值为（    ） A． B．0 C．4 D．8 5．设实数x满足，则函数的最小值为（    ） A． B． C． D．6 2. 常数代换法 6．已知，则的最小值为（    ） A．4 B． C． D． 7．若，则的最小值是 （    ） A． B．1 C．2 D． 8．若正实数，满足．则的最小值为（   ） A．12 B．25 C．27 D．36 9．已知实数，满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 10．已知，，且，则的最小值是（    ） A．4 B．5 C．7 D．9 3. 恒成立问题 11．已知，若恒成立，则的最大值为（    ） A．4 B．5 C．24 D．25 12．已知实数 满足， 且， 若不等式恒成立， 则实数的最大值为 （    ） A．9 B．12 C．16 D．25 13．已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 14．，，恒成立，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C． D． 15．已知，，若直线过点，且不等式恒成立，则实数m的最大值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 题型二　均值不等式的常见变形应用 16．设，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 17．《几何原本》第二卷中的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多代数的定理都能够通过图形实现证明，并称之为无字证明．现有如图所示的图形，点在半圆上，且，点在直径上运动．作交半圆于点．设，，则由可以直接证明的不等式为（    ） A． B． C． D． 18．下列结论正确的是（    ） A．当时， B．当时，的最小值是 C．当时， D．当时，的最小值为1 19．下列几个不等式中，不能取到等号的是（    ） A． B． C． D． 20．已知，，则下列式子一定成立的是（    ） A． B． C． D． 题型三　均值不等式的实际应用 21．某单位为提升服务质量，花费3万元购进了一套先进设备，该设备每年管理费用为0.1万元，已知使用年的维修总费用为万元，则该设备年平均费用最少时的年限为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 22．中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为a，b，c，三角形的面积S可由公式求得，其中为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦一秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，则此三角形面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 23．为了丰富全校师生的课后学习生活，共建和谐美好的校园文化，重庆十一中计划新建校园图书馆精品阅读区，该项目由图书陈列区（阴影部分）和四周休息区组成．图书陈列区的面积为，休息区的宽分别为2m和5m（如图所示）.当校园图书馆精品阅读区面积最小时，则图书陈列区的边长为（    ） A．20m B．50m C．m D．100m 24．数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C：就是其中之一（如图）．给出下列三个结论：①曲线C恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过；③曲线C关于x轴对称．其中，所有正确结论的序号是（    ） A．① B．② C．①② D．①②③ 25．2023年是农历癸卯兔年，在中国传统文化中