第14练 概率-2023年【暑假分层作业】高一数学（人教A版2019必修第二册）

第14练 概率 知识点一：随机事件与概率 1　随机试验的概念及特点 (1)概念 我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验，简称试验，常用字母E表示． (2)特点 ①试验可以在相同条件下重复_进行； ②试验的所有可能结果是明确可知 _的，并且不止一个； ③每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果． 2　样本空间 (1)样本点 我们把随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点，用ω表示样本点． (2)样本空间 全体样本点的集合称为试验E的样本空间，用Ω_表示样本空间． (3)有限样本空间 如果一个随机试验有n个可能结果ω1，ω2，…，ωn，则称样本空间Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}为有限样本空间． 3　随机事件、必然事件与不可能事件 (1)随机事件 我们将样本空间Ω的子集称为随机事件，简称事件，并把只包含一个样本点的事件称为基本事件，随机事件一般用大写字母A，B，C，…表示．在每次试验中，当且仅当A中某个样本点出现时，称为事件A发生． (2)必然事件 Ω作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以Ω总会发生，我们称Ω为必然事件． (3)不可能事件 空集∅不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称∅为不可能事件． 4.事件的关系与运算 5.概率的基本性质 任何事件的概率都是非负的； 在每次试验中，必然事件一定发生，不可能事件一定不会发生． 一般地，概率有如下性质： 性质1　对任意的事件A，都有P(A)≥0. 性质2　必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)＝1，P(∅)＝0. 性质3　如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B)． 因为事件A和事件B互斥，即A与B不含有相同的样本点，所以n(A∪B)＝n(A)＋n(B)，这等价于P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，即两个互斥事件的和事件的概率等于这两个事件概率之和． 性质4　如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝1－P(B)． 因为事件A和事件B互为对立事件，所以和事件A∪B为必然事件，即P(A∪B)＝1.由性质3，得1＝P(A∪B)＝P(A)＋P(B)． 性质5　如果A⊆B，那么P(A)≤P(B)． (1)对于事件A与事件B，如果A⊆B，即事件A发生，则事件B一定发生，那么事件A的概率不超过事件B的概率． (2)由性质5可得，对于任意事件A，因为∅⊆A⊆Ω，所以0≤P(A)≤1. 性质6　设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)． 7.古典概型 对随机事件发生可能性大小的度量(数值)称为事件的概率，事件A的概率用P(A)表示． 一般地，若试验E具有以下特征 (1)有限性：样本空间的样本点只有有限个； (2)等可能性：每个样本点发生的可能性相等． 称试验E为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型． 古典概型的概率公式 一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率P(A)＝＝．其中，n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数． 求古典概型概率的计算步骤 (1)确定样本点总个数n； (2)确定事件A包含的样本点个数k； (3)计算事件A的概率P(A)＝. 知识点二：事件的相互独立性 1　相互独立事件的概率 对任意两个事件A与B，如果P(AB)＝P(A)P(B)成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立． 2　相互独立事件的性质 如果事件A与B相互独立，那么A与，与B，与也都相互独立． 3　判定相互独立事件的方法 (1)由定义，若P(AB)＝P(A)·P(B)，则A，B独立． (2)有些事件不必通过概率的计算就能判定其独立性，如有放回的两次抽奖，由事件本身的性质就能直接判定出是否相互影响，从而得出它们是否相互独立． 4　公式拓展 如果事件A1，A2，…，An相互独立，那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积．即P(A1A2A3…An)＝P(A1)·P(A2)·…·P(An)． 知识点三：频率与概率 1　频率的稳定性 (1)大量试验表明，在任何确定次数的随机试验中，一个随机事件A发生的频率具有随机性． (2)一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A)．我们称频率的这个性质为频率的稳定性．因此，我们可以用频率fn(A)估计概率P(A)． 2　频率与概率的关系 (1)概率可看作频率理论上的期望值，它从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小． (2)当试验的次数越来越多时，频率越来越趋近于概率． (3)当次数足够多时，所得频率就近似地看作随机事