第12练 空间直线、平面的垂直-2023年【暑假分层作业】高一数学（人教A版2019必修第二册）

第12练 空间直线、平面的垂直 知识点一：直线和直线垂直 1　空间两条直线的位置关系有三种 (1)平行直线； (2)相交直线； (3)异面直线． 2　异面直线所成的角 (1)定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，我们把直线a′与b′所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)． (2)空间两条直线所成角α的取值范围：0°≤α≤90°． 3　直线与直线垂直 如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条异面直线互相垂直．直线a与直线b互相垂直，记作a⊥b． 知识点二：直线和平面垂直 1　直线与平面垂直的定义 (1)定义：如果直线l与平面α内的任意一条直线直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直． (2)记法：l⊥α． (3)有关概念：直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面，它们唯一的公共点P叫做垂足． (4)图示： (5)画法：画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直． 注意：过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条，该点与垂足间的线段叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离． 2　直线与平面垂直的判定定理 (1)文字语言：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直． (2)符号语言：l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α，a∩b＝P⇒l⊥α. (3)图形语言： 3　直线与平面所成的角 (1)相关概念 ①斜线：一条直线与一个平面相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，如图中直线PA． ②斜足：斜线和平面的交点，如图中点A． ③射影：过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影，如图中斜线PA在平面α上的射影为直线AO． (2)对应图形： (3)直线与平面所成的角 ①定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，如图中∠PAO ． ②规定：一条直线垂直于平面，它们所成的角是90°；一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是0°． (4)取值范围：设直线与平面所成的角为θ，则0°≤θ≤90°． 4　三个结论 (1)过一点，有且只有一条直线和一个平面垂直． (2)过一点，有且只有一个平面与一条直线垂直． (3)两条平行线中的一条与一个平面垂直，则另一条也和该平面垂直． 5 直线与平面垂直的性质定理 (1)文字语言：垂直于同一个平面的两条直线平行． (2)符号语言：⇒a∥b. (3)图形语言： 注意：一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离，如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面间的距离． 6　直线l与平面α垂直，则l垂直于α内的任意一条直线． 7　线与平面的距离：一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离． 8　平面与平面的距离：两个平面平行时，其中一个平面内任意一点到另一个平面的距离． 知识点三：平面和平面垂直 1　二面角的概念 (1)半平面的定义：平面内的一条直线，把这个平面分成两部分，其中的每一部分都叫做半平面． (2)二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面． (3)二面角记法：二面角α－l－β或二面角α－AB－β或二面角P－l－Q或二面角P－AB－Q(AB为棱，α，β分别为二面角的两个面，P在α内，Q在β内，且P，Q不在棱上)． (4)二面角的画法 第一种是卧式法，也称为平卧式： 第二种是立式法，也称为直立式： (5)二面角的大小用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度． (6)二面角的平面角 若有①O∈l；②OA⊂α，OB⊂β；③OA⊥l，OB⊥l，则二面角α－l－β的平面角是∠AOB． 二面角的平面角α的取值范围是0°≤α≤180°.平面角是直角的二面角叫做直二面角． 2　平面与平面垂直的定义 (1)定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直． (2)画法 (3)记作：α⊥β． 3　平面与平面垂直的判定定理 (1)文字语言：如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直． (2)符号语言：l⊥α，l⊂β ⇒α⊥β. (3)图形语言： 4　平面与平面垂直的性质定理 (1)文字语言：两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直． (2)符号语言：α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β. (3)图形语言： 5　平面与平面垂直的其他性质与结论 (1)如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内．即α⊥β，