导数复习切线相关的基础题-重庆市广益中学校2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

2022-2023学年度高二下期导数复习切线相关的基础题 1．求曲线在点处的切线方程． 【答案】 【分析】根据导函数的定义及几何意义得到曲线上的点的切线斜率，进而求出切线方程. 【详解】在曲线上的点的附近取一点B， 设B点的横坐标为， 则点B的纵坐标为，所以函数的增量， 所以切线AB的斜率， ∴， 这表明曲线在点处的切线斜率． ∴所求切线方程为，即. 2．已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求的单调区间. 【答案】(1) (2)的单调递增区间是和；单调递减区间是 【分析】（1）求出导函数，得出切线斜率，再计算出，由点斜式写出切线方程，整理即得； （2）由得增区间，得减区间，即可． 【详解】（1）由题意得：， 所以(1)，(1)， 故曲线在点，(1)处的切线方程，即； （2）， 令，易得或，令，易得， 所以函数在和上递增，在上递减， 即的单调递增区间是和；单调递减区间是. 3．在抛物线上哪一点处的切线平行于直线？哪一点处的切线垂直于这条直线？ 【答案】抛物线在点处的切线平行于直线；抛物线在点处的切线垂直于直线. 【分析】用导数的几何意义求出抛物线在处的切线的斜率，然后用两直线平行垂直时斜率间的关系即可求解. 【详解】设点在抛物线上，， 所以抛物线在点处的切线的斜率为， 直线的斜率为4， 若切线与直线平行，则有，解得，此时； 若切线与直线垂直，则有，解得，此时. 所以抛物线在点处的切线平行于直线， 抛物线在点处的切线垂直于直线. 4．已知函数，. (1)求的值，并写出该函数在点处的切线方程； (2)求函数在区间上的最大值和最小值. 【答案】(1) (2)最大值是，最小值是1. 【分析】（1）求出，根据导数的几何意义得出切线的斜率，求出，即可得出答案； （2）根据导函数得出导函数的单调性，结合端点值，即可得出函数的最值. 【详解】（1）由已知可得，所以， 则根据导数的几何意义可知，函数在点处的切线的斜率为. 又，所以函数在点处的切线的方程为. （2）当时，，所以在上单调递减； 当时，，所以在上单调递增. 所以，在处取得唯一极小值，也是最小值. 又，， 所以，函数在区间上的最大值是，最小值是1. 5．已知函数. (1)求这个函数的图像在处的切线方程； (2)求这个函数在上的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】(1)先求函数的导数，把切点的横坐标代入导数得到切线的斜率，再用点斜式写出切线方程. (2)分别令导数大于0和小于0求出函数的单调性，从而得出函数在处取得最小值，把代入函数计算即可. 【详解】（1）因为，所以，                           ，                                        所以所求切线方程为，即. （2）令解得，令解得， 故函数在上的单调性为：在区间上单调递增，在区间上单调递减，     所以. 6．已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数在区间的最大值与最小值． 【答案】(1) (2)； 【分析】（1）利用导数求出切线的斜率，并结合切点得到切线方程； （2）先利用导数求得在区间上的单调区间，进而求得在区间上的最大值与最小值. 【详解】（1），切点为， 又，，                         切线方程为，即， 即曲线在点处的切线方程为； （2）由（1）知，令，得或，令，得， 函数在区间，为增函数，在区间为减函数，     又，，；         又，，. 7．已知函数，而且. (1)求； (2)若l是曲线的切线，且经过点，求l的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）由求，令可求； （2）设切点坐标，利用导数求出切线方程，代入点求出未知系数，可得切线方程. 【详解】（1），则， 所以，得. （2）由(1)可得，， 设切点为，所以切线的斜率为，又因为， 所以直线l的方程为： 将代入上式并整理，可得，由此可解得或， 因此，切点为或，切线方程为或， 即l的方程为或. 8．已知函数． (1)求在上的极值； (2)若过点作曲线的切线，求切线方程． 【答案】(1)极小值为，无极大值 (2) 【分析】（1）求导后，根据正负可得单调性，根据单调性确定极值点后即可求得极值； （2）设切点为，利用导数几何意义可求得切线斜率，进而得到切线方程，代入切点坐标即可构造方程求得的值，进而得到切线方程. 【详解】（1）， 当时，；当时，； 在上单调递减，在上单调递增， 的极小值为，无极大值. （2）设切点坐标为， 由（1）知：，， 切线方程为：，，即，解得：， 切线方程为：，即. 9．已知，曲线在点处的切线斜率为5． (1)求a的值； (2)求函数的极值． 【答案】(1) (2)极大值为－3，无极小值 【分析】（1）利用导数