第07讲 相似三角形综合-【暑假自学课】2023年新九年级数学暑假精品课（沪教版，上海专用）

第07讲 相似三角形综合 掌握相似三角形多种解法 灵活运用多知识结合的相似三角形问题 模块一：平行线与相似三角形 1、平行线与相似三角形 利用平行线构造的相似主要有两个基本的模型，即：“A”字型和“X”字型． 【例1】 如图，已知中，AD、BE相交于G，，． ( A B C D E G ) 求的值． 【例2】 如图，在中，点D在线段BC上，，，AD = 2， ( A B C D )BD = 2DC，求AC的长． ( M ) 模块二：角平分线与相似三角形 1、角平分线与相似三角形 角平分线类的相似模型如下： 分为“内角平分线”和“外角平分线”两种类型，虚线部分为辅助线的作法． 【例3】 ( A B C D M )如图，AD是的内角平分线．求证：． 【例4】 ( A B C D E F G )如图，在中，，过点C作CE // AB，交的平 分线AD于E． （1）不添加字母，找出图中所有的相似三角形，并证明； （2）求证：． 模块三：a2 = b·c与相似三角形 1、a2 = b·c与相似三角形 常见及扩展模型如下： ( B A C D A B C D 图1 图2 ) 由图1可证：； 由图2可证：，，． 【例5】 如图，中，，于点D． ( A B C D ) 求证：． 【例6】 如图，在直角梯形ABCD中，AB // CD，ABBC，对角线ACBD，垂足为E， AD = BD，过E的直线EF // AB交AD于点F． （1）AF = BE； ( A B C D E F ) （2）AF2 = AE·EC． 模块四：内接矩形与相似三角形 1、内接矩形与相似三角形 ( A B C D E F G H T )相关模型： 常用结论：． 【例7】 ( A B C )如图，已知中，AC = 3，BC = 4，，在内部求做一正方形， 问怎样截取可以使正方形的面积最大，并求出此时正方形的边长． ( D F E ) 【例8】 ( A B C D E F G )如图，中，四边形DEFG为正方形，其中D、E在边AC、BC上，F、G在 AB上，，，求的面积． ( H ) 模块五：一线三等角与相似三角形 1、一线三等角与相似三角形 相关模型如下图所示： 【例9】 ( A B C D E F )已知，在等腰中，AB = AC = 10，以BC的中点D为顶点作， 分别交AB、AC于点E、F，AE = 6，AF = 4，求底边BC的长． 【例10】 ( A B C D E )如图，直角梯形ABCD中，AB // CD，，点E在边BC上，且， AD = 10，求的面积． 【例11】 如图（1），在△ABC中， AB=AC=5，BC=8，点P、Q分别在射线CB，AC上（点P不与点C，B重合），且保持∠APQ=∠ABC。 （1） 若点P在线段CB上，且BP=6，求线段CQ的长； （2）若BP=x，CQ=y，求y与x之间的函数关系式，并写出函数的定义域； ( A B C D A B P Q C Q P )（3）正方形ABCD的长为5，如图（2），点P，Q分别在直线CB，DC上（点P不与点C，B重合），且保持∠APQ=90°。当CQ=1时，写出线段BP的长（不需要写计算过程，请直接写出结果） 模块六：旋转与相似三角形 【例12】 在中，CA = CB，在中，DA = DE，点D、E分别在CA、AB上． （1）如图1，若，则CD与BE的数量关系是____________； （2）若，将绕点A旋转至如图2所示的位置，则CD与 BE的数量关系是____________． ( A B C D E A B C D E 图1 图2 ) ( H ) 【例13】 把两块全等的直角三角板ABC和DEF叠放在一起，使三角板DEF的锐角顶点D 与三角板ABC的斜边中点O重合，其中，，AB = DE = 4，把三角板ABC固定不动，让三角板DEF绕点O旋转，设射线DE与射线AB 相交于点P，射线DF与线段BC相交于点Q． （1）如图1，当射线DF经过点B，即点Q与点B重合时，易证∽，则 此时______； （2）将三角板DEF由图1所示的位置绕点O沿逆时间方向旋转，设旋转角为．其 中，问的值是否改变？请说明理由． ( F A B ( Q ) C D ( O ) E P P A B C D ( O ) A B C D ( O ) Q P Q E F E F 图1 图2 图3 ) 模块七：函数与相似三角形 【例14】 ( A B C P Q )如图，厘米，厘米，动点、分别以2厘米/秒和1厘米/秒的 速度同时开始运动，其中点从点出发沿边一直移动到点为止，点从点出 发沿边一直移动到点为止．经过多长时间后，与相似？ 【例1