第04讲 相似三角形的判定（一）-【暑假自学课】2023年新九年级数学暑假精品课（沪教版，上海专用）

第04讲 相似三角形的判定（一） 掌握相似三角形的定义 掌握相似三角形判定定理1和相似三角形判定定理2 重点是根据已知条件灵活运用这两种判定定理，以及这两者之间的相互结合． 模块一：相似三角形判定定理1 1、相似三角形的定义 如果一个三角形的三个角与另一个三角形的三个角对应相等，且它们各有的三边对应成比例，那么这两个三角形叫做相似三角形． 如图，是的中位线，那么在与中， ， ，；．由相似三角形的定义，可知这两个三角形相似．用符号来表示，记作，其中点与点、点与点、点与点分别是对应顶点；符号“”读作“相似于”．D A B C E 用符号表示两个相似三角形时，通常把对应顶点的字母分别写在三角形记号“”后相应的位置上． 根据相似三角形的定义，可以得出： （1）相似三角形的对应角相等，对应边成比例；两个相似三角形的对应边的比，叫做这两个三角形的相似比（或相似系数）． （2）如果两个三角形分别与同一个三角形相似，那么这两个三角形也相似． 2、相似三角形的预备定理 平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似． 如图，已知直线与的两边、所在直线分别交于点和点，则． 3、相似三角形判定定理1 如果一个三角形的两角与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似． 可简述为：两角对应相等，两个三角形相似． 如图，在与中，如果、，那么． A B C A1 B1 C1 常见模型如下： A B C D E 1 2 3 【例1】 如图，，那么图中相似的三角形有哪几对？ A B C D E 【例2】 如图，、分别是的边、上的点，且． 求证：． 【例3】 如图，，于点，，，求的长．A B C D E 【例4】 正方形中，是中点，于点，厘米，求的长． 【例5】 如图，矩形的对角线、相交于点，于点，交于点 ，交的延长线于点．A B C D E F O 求证：． 模块二：相似三角形判定定理2 1、相似三角形判定定理2 如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似． 可简述为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似． 如图，在与中，，，那么． A B C A1 B1 C1 【例6】 如图，在与中，，，求证：．A B C A1 B1 C1 【例7】 如图，四边形的对角线与相交于点，，，， ． 求证：与是相似三角形．A B C D O 【例8】 已知，在中，、是的两条高，、交于点．A B C E F G 求证：（1）；（2）． 【例9】 如图，点是的垂心（垂心即三角形三条高所在直线的交点），联结交 的延长线于点，联结交的延长线于点，联结．A B C D E O 求证：． 【例10】 如图，在中，，是边上的高，点在线段上，， ，垂足分别为、． 求证：（1）；（2）．A B C D E F G 一、单选题 1. （2022秋·上海徐汇·九年级上海市田林第三中学校考期中）下列两个图形一定相似的是（  ） A．两个等腰三角形； B．两个等边三角形； C．两个矩形； D．两个梯形． 2. （2023·上海·一模）如图，已知与，下列条件一定能推得它们相似的是（    ） A． B． C． D． 3. （2022秋·上海嘉定·九年级校考期中）下列各组条件中，一定能推得与相似的是（　　） A．且 B．且 C．且 D．且 4. （2022秋·上海·九年级校考期中）依据下列条件不能判定和相似的是（    ） A．，， B．，，，，， C．，，，，， D．，，，， 5. （2023·上海·一模）下列说法中，正确的是（　　） A．两个矩形必相似 B．两个含角的等腰三角形必相似 C．两个菱形必相似 D．两个含角的直角三角形必相似 6. （2022秋·上海静安·九年级上海市华东模范中学校考期中）下列五幅图均是由边长为1的16个小正方形组成的正方形网格，网格中的三角形的顶点都在小正方形的顶点上，那么在下列右边四幅图中的三角形，与左图中的△ABC相似的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7. （2023·上海黄浦·统考一模）下列条件中，不能判定与相似的是（    ） A．， B．，， C．，，，， D．，，，， 8. （2022秋·上海浦东新·九年级校考阶段练习）如图，分别以下列选项作为一个已知条件，不一定能得到△AOB与△COD相似的是（    ） A． B． C． D．∠BAC＝∠BDC 二、填空题 9. （2022秋·上海崇明·九年级校考期中）如图，在中，点在边上，如果，那么图中一定相似的三角形是______． 10. （2022秋·九年级单元测试）如图，△ABC中，D、