第01讲 相似形与比例线段-【暑假自学课】2023年新九年级数学暑假精品课（沪教版，上海专用）

第01讲 相似形与比例线段 掌握相似多边形的概念和性质 重点是理解相似形的相关概念和相似多边形性质的运用 掌握比例线段的有关概念和性质 重点是理解不同概念和性质之间的联系和区别，熟练比例线段之间的转换 结合具体图形，运用比例线段的性质进行解题 模块一：相似形的概念及性质 1、相似形的概念 相似形：我们把形状相同的两个图形称为相似的图形，简称相似形． 2、相似多边形的性质 如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例．当两个相似的多边形是全等形时，它们对应边的长度的比值为1． 【例1】 下列给出的图形中，不是相似形的是（ ） （A）由同一张底片印出来大小不同的照片 （B）一张巨幅画像和用照相机把它拍出来的照片 （C）小明在平面镜和在哈哈镜里看到的他自己的像 （D）五星红旗上的大五角星和小五角星 【例2】 下列各组中的两个图形一定相似的有（ ） （1）两个等腰三角形； （2）两个直角三角形； （3）两个等腰直角三角形； （4）两个等边三角形； （5）两个矩形； （6）两个菱形； （7）两个正方形； （8）两个等腰梯形； （9）两个圆． （A）3组 （B）4组 （C）5组 （D）6组 【例3】 已知四边形和四边形是相似的图形，并且点与点、点与 点、点与点、点与点分别是对应顶点，已知，， ，，，，，求，的长和的 度数． 【例4】 如图，矩形中，，线段，在上取一点，分别以、 为一边作矩形、矩形，使矩形与矩形相似，且点与点、点与点，点与点，点与点分别是对应顶点，令．求出矩形的面积与的函数关系式． 模块二：比例的性质 1、比和比例 一般来说，两个数或两个同类的量与相除，叫做与的比，记作（或表示为）； 如果（或），那么就说、、、成比例． 2、比例的性质 （1）基本性质： 如果，那么； 如果，那么，，． （2）合比性质： 如果，那么； 如果，那么． （3）等比性质： 如果，那么． 【例5】 （1）是和的比例中项，则 ； （2）是和的比例中项，则 ； （3）线段厘米，厘米，则线段和的比例中项是 ． 【例6】 （1）若，则 ； （2）若，则 ； （3）若，则 ． 【例7】 设线段、、满足，求、、的值． 【例8】 设，求的值． 【例9】 若，求的值． 模块三：比例线段 1、比例线段的概念 对于四条线段、、、，如果（或表示为），那么、、、叫做成比例线段，简称比例线段． 2、黄金分割 如果点把线段分割成和（）两段（如下图），其中是和的比例中项，那么称这种分割为黄金分割，点称为线段的黄金分割点．其中，，称为黄金分割数，简称黄金数． 【例10】 （1）若，，则 ； （2）若，，则 ； （3）若，，则 ． 【例11】 小智发现自己的数学辅导书的宽与长之比为黄金比，已知这本书的长为厘米， 则它的宽约为 ．（精确到百分位） 【例12】 在中，点、分别在边、上，且， 则 ，若的周长为厘米，则的周长为 厘米． 【例13】 已知线段a、b、c，其中c是a和b的比例中项，a=4，b=9，则c等于（ ） A.4 B.6 C.9 D.36 一、单选题 1. （2023·上海金山·统考一模）下列各组中的四条线段成比例的是（    ） A． B． C． D． 2. （2023·上海长宁·统考一模）已知线段、、、是成比例线段，如果，，，那么的值是（    ） A．8 B．6 C．4 D．1 3. （2023·上海长宁·统考一模）已知是线段的黄金分割点，且，那么的值为（    ） A． B． C． D． 4. （2023·上海宝山·一模）已知线段a、b，如果，那么下列各式中一定正确的是（　　） A． B． C． D． 5. （2022·上海·九年级上海市建平实验中学校考期中）下列判断中，正确的是（    ） A．所有等边三角形都相似 B．有一个角是40°的等腰三角形都相似 C．所有矩形都相似 D．所有菱形都相似 6. （2022秋·上海崇明·九年级校考期中）下列关于“相似形”的说法中正确的是（    ） A．相似形形状相同、大小不同 B．图形的放缩运动可以得到相似形 C．对应边成比例的两个多边形是相似形 D．相似形是全等形的特例 7. （2022秋·上海青浦·九年级校考期中）下列命题中，正确的是（    ） A．两个等腰三角形一定相似 B．两个等腰梯形一定相似 C．两个菱形一定相似 D．两个正方形一定相似 8. （2023秋·上海黄浦·九年级上海市民办明珠中学