第05讲 相似三角形的判定（二）-【暑假自学课】2023年新九年级数学暑假精品课（沪教版，上海专用）

第05讲 相似三角形的判定（二） 掌握相似三角形判定定理3和直角三角形相似的判定定理 重点是灵活运用相似三角形的各个判定定理 难点是相似三角形与分类讨论及函数思想的互相结合． 模块一：相似三角形判定定理3 1、相似三角形判定定理3 如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似． 可简述为：三边对应成比例，两个三角形相似． 如图，在与中，如果，那么∽． ( A B C A 1 B 1 C 1 ) 【例1】 如图，D、E、F分别是的边BC、CA、AB的中点．求证：∽． ( A B C D E F ) 【例2】 的边长分别为a、b、c，的边长分别为、、，则与 （选填“一定”、“不一定”或“一定不”）相似． 【例3】 ( A B C D E )如图，点D为内一点，点E为外一点，且满足． 求证：∽． 【例4】 如图，在梯形ABCD中，AB // CD，，，，，点E 是AD的中点． （1）求证：∽； （2）与有可能相似吗？若相似，请证明；若不相似，请说明理由． ( A B C D E F ) 模块二：直角三角形相似的判定定理 1、直角三角形相似的判定定理 如果一个直角三角形的斜边及一条直角边与另一个直角三角形的斜边及一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似． 可简述为：斜边和直角边对应成比例，两个直角三角形相似． ( A B C A 1 B 1 C 1 )如图，在和中，如果，，那么∽． 【例5】 在和中，．依据下列各组条件判定这两个三角形 是否相似，并说明理由． （1），； （2），，，； （3），，，； （4），，，． 【例6】 如图，，，且． ( A B C D ) 求证：． ( A B C D F G ) 【例7】 如图，在中，于D，于F，于G． 求证：． 【例8】 求证：如果一个三角形的两边和第三边的中线与另一个三角形的对应线段成比例，那么这两个三角形相似． 模块三：相似三角形的判定综合 1、相似三角形判定定理1：两角对应相等，两个三角形相似． 2、相似三角形判定定理2：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似． 3、相似三角形判定定理3：三边对应成比例，两个三角形相似． 4、直角三角形相似的判定定理：斜边和直角边对应成比例，两个直角三角形相似． 【例9】 根据下列条件，能判定和相似的个数是（ ）． （1），，，； （2），，，，，； （3），，，，，； （4），，，，，． （A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个 【例10】 如图，四边形ABCD是正方形，E是CD的中点，P是BC边上的一点，下列 条件中，不能推出与相似的是（ ）． ( A B C D E P )（A） （B） （C）P是BC的中点 （D） 【例11】 如图，，，求证：BC平分． ( A B C D E ) 【例12】 如图，在和中，，，． （1）判断这两个三角形是否相似，并说明为什么； ( A B C D E F )（2）能否分别过点A、D在这两个三角形中各作一条辅助线，使分割成的两个三角形与分割成的两个三角形分别对应相似？证明你的结论． 【例13】 ( A B C D E F )如图，在中，，，点D、E、F分别在AC、AB、BC 边上，沿着直线EF翻折后与重合，设，．试问是 否有可能与相似，如有可能，求出CD的长；如不可能，说明理由． 一、单选题 1. （2022春普陀九下月考精选）如图，在中，点D、E分别在边上，与边不平行，那么下列条件中，能判定是（　　） A． B． C． D． 2. （2022春上海模拟精选）如图，在四边形中，连接交于点O，分别以下列选项作为一个已知条件，不一定能得到与相似的是（    ） A． B． C． D． 3. （2022春上海模拟精选）如图，正方形与在方格纸中，正方形和三角形的顶点都在格点上，那么与相似的是（　　） A．以点E、F、A为顶点的三角形 B．以点E、F、B为顶点的三角形 C．以点E、F、C为顶点的三角形 D．以点E、F、D为顶点的三角形 4. 张老师在编写下面这个题目的答案时，不小心打乱了解答过程的顺序，你能帮他调整过来吗？证明步骤正确的顺序是（　　） 已知：如图，在中，点D，E，F分别在边，，上，且，．求证：． 证明：①又∵，②∵，③∴，④∴，⑤∴． A．③②④①⑤ B．②④①③⑤ C．③①④②⑤ D．②③④①⑤ 5. 如图，已知，添加下列条件后，仍无法判定的是（　　） A． B． C． D． 6. （2022春上海华育校内模拟精选）含角的直角三角板与含角的直角三角板如图放置，它们的斜边与斜边相交于点E．下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 7. （2022春普陀九下月考精选）如图，在中，点