第03讲 二次根式的运算-【暑假自学课】2023年新八年级数学暑假精品课（沪教版，上海专用）

第03讲 二次根式的运算 二次根式的加、减、乘、除、乘方、开方的混合运算 模块一：二次根式的加减法 1. 二次根式的加法和减法： 先把各个二次根式化为最简二次根式，再把同类二次根式分别合并（化简合并）． 【例1】 计算： （1）； （2）． 【例2】 如图，长方形内有两个正方形，面积分别为4和2，求阴影部分的面积． 【例3】 设直角三角形的两条直角边分别为，斜边为，周长为． （1）如果，求； （2）如果，求． （3）已知，求的值． 模块二：二次根式的乘除法 1、二次根式的乘法和除法 （1）两个二次根式相乘，被开方数相乘，根指数不变； （2）两个二次根式相除，被开方数相除，根指数不变． 【例4】 计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【例5】 计算： （1）； （2）． 【例6】 如图所示，在面积为2a的正方形中，截得直角三角形的面积为 ，求的长． 【例7】 计算． （1）； （2）． 一、单选题 1. （2022秋·上海黄浦·八年级校联考阶段练习）下列各式运算正确的是（　　） A． B． C． D． 2. （2022秋·上海闵行·八年级统考期中）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 3. （2022秋·上海宝山·八年级校考期中）小明作业本上有以下四道题：①；②；③；④，其中做错的题是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 4. （2022秋·上海虹口·八年级校考期中）下列运算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 5. （2022秋·上海静安·八年级校考期中）等式成立的条件是（    ） A． B． C．或 D． 二、填空题 6. （2022秋·上海普陀·八年级校考期中）计算：______． 7. （2022秋·上海青浦·八年级校考期中）计算：________． 11．（2022秋·上海·八年级校考期中）计算：＝_____． 8. （2022秋·上海·八年级校考期中）若等式：成立，则x的取值范围是_______． 9. （2022秋·上海奉贤·八年级校联考期中）计算：______． 三、解答题 10. （2022秋·上海闵行·八年级统考期中）（1）计算：； （2）计算：（其中）． 11. （2022秋·上海宝山·八年级校考期中）化简：． 12. （2022秋·上海·八年级校考期中）计算： (1)； (2)． 1. 的一个有理化因式是（    ） A． B． C． D． 2. 如果，那么的值为（     ） A．1 B．-1 C． D． 3. 已知a<0，那么可化简为（     ） A． B． C． D． 4. 我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即三角形的三边长为、、，记，那么其面积．如果某个三角形的三边长分别为，，时，其面积介于整数和之间，那么的值是______．设，，当t为___________时，代数式． 5. 化简 6. （2022秋·上海·八年级校考期末）计算： 4 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $ 第03讲 二次根式的运算 二次根式的加、减、乘、除、乘方、开方的混合运算 模块一：二次根式的加减法 1. 二次根式的加法和减法： 先把各个二次根式化为最简二次根式，再把同类二次根式分别合并（化简合并）． 【例1】 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）原式； （2）原式． 【总结】本题主要考查二次根式的加减运算，注意先化简后合并． 【例2】 如图，长方形内有两个正方形，面积分别为4和2，求阴影部分的面积． 【答案】． 【解析】阴影部分的宽为，长为． 【总结】本题主要考查利用二次根式的运算求几何图形的面积． 【例3】 设直角三角形的两条直角边分别为，斜边为，周长为． （1）如果，求； （2）如果，求． 【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）因为， 所以； （2）因为，所以． 【总结】本题主要考查二次根式的化简以及加法运算在几何图形中的运用． 【例4】 已知，，求的值． 【答案】2 【解析】由题意可得：，，则， 代入，，则原式． 【总结】本题综合性较强，主要考查二次根式的化简以及加法运算，注意判定每一个因式的符号． 模块二：二次根式的乘除法 1、二次根式的乘法和除法 （1）两个二次根式相乘，被开方数相乘，根指数不变； （2）两个二次根式相除，被开方数相除，根指数不变． 【例5】 计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）． 【解析】（1）； （2）； （3）； （4）． 【总结】本题主要考