第02讲 二次根式的运算（4大知识点+8大典例+变式训练+过关检测）-（暑期衔接课堂）2025-2026学年八年级上册数学衔接讲义（沪教版）

第02讲 二次根式的运算（4大知识点+8大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 二次根式的加减运算 典型例题二 二次根式的乘除法运算 典型例题三 二次根式的混合运算 典型例题四 比较二次根式的大小 典型例题五 分母有理化 典型例题六 已知字母的值，化简求值 典型例题七 已知条件式，化简求值 典型例题八 二次根式的应用 知识点01 二次根式的加减 1. 二次根式加减法则：先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。 2. 二次根式加减运算的步骤： ①化：将各个二次根式化成最简二次根式； ②找：找出化简后被开方数相同的二次根式； ③合：合并被开方数相同的二次根式——将”系数”相加作为和的系数，根指数与被开方数保持不变。 知识02 二次根式的乘法 二次根式的乘法 ·＝．（a≥0，b≥0） 文字语言：二次根式与二次根式相乘，等于各个被开数的积的算术平方根. 推广： 知识点03 二次根式的除法 二次根式的除法：=（a≥0，b>0） 文字语言：二次根式与二次根式相乘，等于各个被开数的商的算术平方根. 知识点04 二次根式的混合运算 二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的（或先去掉括号） 【典型例题一 二次根式的加减运算】 【例1】（24-25八年级上·上海金山·期中）下列各式计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式的化简及减法计算，正确理解二次根式减法法则以及二次根式性质是解答问题的关键．根据二次根式的减法、以及二次根式的性质即可分别作出判断． 【详解】解：A、，故选项错误； B、，故选项正确； C、，故选项错误； D、与被开方数不同，不能合并，选项错误． 故选：B． 【例2】（24-25八年级上·上海嘉定·阶段练习）估计的值应在（    ） A．4到5之间 B．5到6之间 C．6到7之间 D．7到8之间 【答案】B 【分析】本题主要考查估算无理数的大小，二次根式的加减运算，先计算加法运算，再估算大小即可． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴的值应在5到6之间； 故选：B 【例3】（24-25八年级上·上海杨浦·期中）化简计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式的加法，先把二次根式化简后再合并即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【例4】（24-25八年级上·上海闵行·阶段练习）已知，，，且A、B、C是可以合并的最简二次根式，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查最简二次根式，二次根式的加减．根据A、B、C是可以合并的最简二次根式，得到A、B、C的被开方数相同，即可求得A、B、C，再根据二次根式的加减法运算法则计算即可． 【详解】解：∵A、B、C是可以合并的最简二次根式， ∴， ∴，， ∴，，， ∴． 故答案为： 【例5】（24-25八年级上·全国·课后作业）计算： (1) (2) (3) (4) (5)； (6) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】本题考查了二次根式的加减运算，掌握二次根式的性质与加减运算法则是解题的关键； （1）直接合并同类二次根式，即可求解； （2）根据二次根式的性质化简再合并同类二次根式，即可求解； （3）根据二次根式的性质化简再合并同类二次根式，即可求解； （4）根据二次根式的性质化简再合并同类二次根式，即可求解； （5）根据二次根式的性质化简再合并同类二次根式，即可求解； （6）根据二次根式的性质化简再合并同类二次根式，即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ． 1．（24-25八年级上·上海徐汇·阶段练习）若，则a和b的值不可能是（   ） A． B．， C．， D． 【答案】D 【分析】本题主要考查实数的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据运算法则进行求解即可． 【详解】解：，故选项A不符合题意； ，故选项B不符合题意； ，故选项C不符合题意； ，故选项D符合题意； 故选D． 2．（24-25八年级上·上海嘉定·阶段练习）已知实数a、b，定义“△”运算如下：，计算的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次根式的加减运算，解题关键是理解新定义的含义，列出正确的算式． 根据已知条件中的新定义，列出算式，进行二次根式的加减法即可； 【详解】解：∵， ∴ 故选：A 3．（24-25八年级上·上海青浦·期中）我们规定：对于任意的正数、的运算“”为：当时，；当时，，其他运算符号意义不变．按上述规定，计算的结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义下的实数运算，涉及二次根式的性质和加减运算，明确新定义运算的法则是解题的关键．根据新定义当时，；当时，，列式求解，即可解题． 【详解】解：当时，；当时，， ， ， ， ． 故答案为：． 4．（24-25八年级上·全国·课后作业）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查二次根式的加减运算，熟练掌握加减运算法则，是解题的关键： （1）直接合并即可； （2）先化简，再合并即可； （3）先化简，再合并即可； （4）先化简，再合并即可． 【详解】（1）解：原式； （2）原式； （3）原式； （4）原式． 5．（24-25八年级上·上海松江·期中）阅读下面的文字，解答问题： 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？ 事实上，小明的表示方法是有道理，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 又例如： ∵，即， ∴的整数部分为2，小数部分为．请解答： (1)的整数部分是 ，小数部分是 ． (2)已知：，其中x是整数，且，求的相反数． 【答案】(1)4， (2) 【分析】本题考查了估算无理数的大小． （1）先估算出的范围，即可得出答案； （2）先估算出的范围，求出x、y的值，再代入求出即可． 【详解】（1）解：∵， ∴的整数部分是4，小数部分是， 故答案为：4，； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵，其中x是整数，且， ∴，， ∴， ∴的相反数是． 【典型例题二 二次根式的乘除法运算】 【例1】（24-25八年级上·全国·课后作业）若，则化简所得结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的乘除法，解题的关键是熟练运用二次根式的乘除运算法则，本题属于基础题型． 根据二次根式的乘除运算法则即可求出答案． 【详解】解：原式， 故选：C． 【例2】（24-25八年级上·上海虹口·期中）在解决如下问题“已知，，用含，的代数式表示”时，甲、乙两个同学分别给出不同解法： 甲：． 乙：因为，所以． 对于这两种解法，正确的是（    ） A．甲对 B．乙对 C．甲、乙均对 D．甲、乙均不对 【答案】C 【分析】仔细阅读两同学的解题过程，然后判断． 【详解】甲：， ∴甲正确； 乙：， ∵， ∴． ∴乙正确； 综上所述，甲、乙均对． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次根式的乘除法，解答本题的关键是掌握仔细阅读题目，灵活解题． 【例3】（24-25八年级上·上海·单元测试）计算： ． 【答案】 【分析】根据二次根式的混合运算进行计算即可求解． 【详解】     ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的乘除法混合运算，掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 【例4】（24-25八年级上·上海嘉定·期末）计算：①×＝ ，②＝ ，③＝ ． 【答案】 5 【分析】①利用二次根式的乘法法则运算，最后化成最简二次根式即可；②利用二次根式的乘法法则运算，最后化成最简二次根式即可；③利用算术平方根的意义化简即可． 【详解】解：①； ②； ③． 故答案为：；5；． 【点睛】本题主要考查了二次根式的乘除法，二次根式的性质与化简，算术平方根的意义．二次根式的乘除法的结果一定要化成最简二次根式，这是解题的关键． 【例5】（24-25八年级上·上海长宁·阶段练习）下面是小星同学解答题目的过程，请认真阅读并完成相应任务． 计算：． 解：原式        第一步         第二步 ．        第三步 计算． 解：原式        第一步         第二步 ．        第三步 (1)任务一：以上步骤中，从第_____步开始出现错误，这一步错误的原因是__________； (2)任务二：请写出正确的计算过程． 【答案】(1)一，乘除混合运算时，未按照从左到右的顺序依次计算 (2)见解析 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）乘除同级运算，应是从左到右运算，即可作答． （2）先运算除法，再运算乘法，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，以上步骤中，从第一步开始出现错误，这一步错误的原因是乘除混合运算时，未按照从左到右的顺序依次计算； （2）解：依题意，正确的计算过程： 原式． 1．（24-25八年级上·上海普陀·期末）下列各式正确的是 (    ) A． ×＝9 B．(4)2＝8 C．÷ D．＝7－4 【答案】D 【分析】根据二次根式的运算法则分别对各项进行计算然后判断即可． 【详解】A．×＝3，故该选项错误； B．(4)2＝32，故该选项错误； C．÷＝=3，故该选项错误； D．∵4＝，7＝， <，即4<7， ∴＝7－4， 故选：D 【点睛】本题考查了二次根式的运算和求算术平方根，熟悉相关性质是解题的关键 2．（24-25八年级上·上海青浦·期末）下面是小秋同学做的四道题：①＝4x2；②（a≥0）；③（a＞0）；④（a＞0）．你认为他做得正确的有（　　） A．1道 B．2道 C．3道 D．4道 【答案】B 【分析】利用二次根式的性质对①进行判断；根据二次根式的乘法法则对②③进行判断；根据二次根式的加减法对④进行判断． 【详解】＝4x2；所以①正确； ＝3（a≥0），所以②错误； （a＞0），所以③正确； 与﹣不能合并，所以④错误． 故选B． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可.在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍. 3．（24-25八年级上·上海奉贤·阶段练习）山西剪纸是最古老的汉族民间艺术之一，被誉为流淌在刀尖上的舞蹈．剪纸作为一种镂空艺术，在视觉上给人以透空的感觉和艺术享受．张萌现用一张长方形彩纸和一张正方形彩纸各剪了一个图案．若长方形彩纸的长为，宽为，且长方形彩纸的面积是正方形彩纸面积的倍，则正方形彩纸的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的乘除运算的应用，熟练掌握二次根式的乘除运算法则是解决此题的关键．先算出长方形彩纸的面积，再由长方形彩纸的面积是正方形彩纸面积的倍，进行计算即可得解． 【详解】解：∵长方形彩纸的长为，宽为， ∴长方形彩纸的面积为， ∵长方形彩纸的面积是正方形彩纸面积的倍， ∴正方形彩纸的面积为． 故答案为： ． 4．（24-25八年级上·全国·课后作业）在表格中填数，使每一行、每一列、每条对角线上的3个数的乘积都是1． 【答案】见解析 【分析】本题考查了二次根式的乘除法运算，根据题意，先求得和中间所要填写的数字，然后计算其余的空，即可求解． 【详解】解：， 如表格， 5．（2025八年级上·上海松江·专题练习）阅读材料1： 在不等式领域，有一个叫基本不等式的工具，表述如下：对于任意的正数a、b，都有，当且仅当时等号成立，它是解决最值问题的有力工具． 例如：在的条件下，，当且仅当时，即时等号成立，从而有最小值2． 阅读材料2： 我们知道，假分数可以写成一个整数与一个真分数的和，如，当分式的分母次数小于分子的次数时，也有类似的变换，如： (1)若为正数，则的最小值为______，此时，______； (2)若为正数，则的最小值为______，此时，______； (3)求下列分式在给定的的取值范围内的最小值，并指出取得最小值时对应的的值． ① ② 【答案】(1)6，3 (2)， (3)①时，原式有最小值4，②时，原式有最小值5 【分析】本题考查了分式的化简求值、二次根式的应用，熟练掌握运算法则，理解题干所给例子是解此题的关键． （1）由题意可得的最小值为，此时，计算即可得解； （2）由题意可得的最小值为，此时，计算即可得解； （3）①仿照题干所给例子，计算即可得解；②仿照题干所给例子，计算即可得解． 【详解】（1）解：∵对于任意的正数a、b，都有，当且仅当时等号成立， ∴x为正数，则的最小值为，此时， 解得：或（不符合题意，舍去）； （2）∵对于任意的正数a、b，都有，当且仅当时等号成立， ∴x为正数，则的最小值为，此时， 解得：或（不符合题意，舍去）； （3）① = 当且仅当时取等号，得 或，即或， 又， 当时取等号，即时，原式有最小值4． ② = 当且仅当时取等号，得 或，即或， 又， ∴当时取等号，即时，原式有最小值5． 【典型例题三 二次根式的混合运算】 【例1】（2025·上海长宁·模拟预测）估计的值应在（   ） A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，无理数的估算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．先计算出原式等于 ，可得，即可求解． 【详解】解： ； ∵，即， ∴的值应在4和5之间． 故选：B． 【例2】（24-25八年级上·上海松江·期中）下列各式计算：①；②；③；④中，正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键，根据二次根式的加减乘除法则进行计算即可． 【详解】解：①，①正确； ②，②正确； ③，③正确； ④，④错误 故选：C． 【例3】（24-25八年级上·全国·课后作业）计算： ， ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键．根据二次根式的混合运算法则求解即可． 【详解】解：， ， 故答案为：，． 【例4】（24-25八年级上·上海普陀·阶段练习）幻方是一种传统游戏，类比幻方，我们给出如图所示的方格，要使方格中横向、纵向及对角线方向上的实数相乘的结果都相等，则的值为 ． 5 10 【答案】/ 【分析】本题考查二次根式的混合运算，先根据幻方规则和二次根式的混合运算分别求得A、B、C、D，然后代值求解即可． 【详解】解：∵方格中横向、纵向及对角线方向上的实数相乘的结果都相等， ∴， ， ， ， ∴ ． 故答案为：． 【例5】（24-25八年级上·上海闵行·期中）问题解决：已知，求代数式的值． 小敏的做法是：根据得， ∴，得：． 把作为整体代入：得． 方法归纳：把已知条件适当变形，再整体代入解决问题． 迁移应用：已知，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的运算，解题的关键是读懂题意运用整体思想．按照题中所给的方法得出，然后整体代入求解即可． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 1．（24-25八年级上·上海长宁·期中）已知，则的值保留小数点后两位是（    ） A．6.93 B．3.47 C．3.46 D．1.73 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的混合计算，先化简二次根式和利用平方差公式去括号，再计算乘法后得到对应式子的结果即可得到答案． 【详解】解： ， ∵， ∴， 故选：C ． 2．（24-25八年级上·上海宝山·阶段练习）如图，一个矩形被分割成四部分，已知图形①②③都是正方形，且正方形③的面积为2，阴影部分的面积为，则正方形①的面积为（   ） A． B． C．24 D．28 【答案】A 【分析】本题考查了算术平方根，二次根式的加减运算等知识点，熟练掌握利用算术平方根和线段的和差得出边长是解决此题的关键． 根据开方运算，可得正方形③的边长，再根据阴影面积可得阴影长，进而可得正方形②的边长，利用长方形的边长的和差，即可得答案． 【详解】正方形③的面积为2， 正方形③的边长是， 阴影部分的面积为， 阴影部分的长为， 正方形②的边长为， 正方形①的边长是， 正方形①的面积为． 故选：A． 3．（2025·上海虹口·模拟预测）阅读下列解题过程，并解答问题． ①； ②． 比较大小： （填“”或“”或“”） 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算等知识点，掌握二次根式混合运算的运算法则是解题的关键． 根据阅读材料，可以将与变形，从而可以求得与的大小关系． 【详解】解：，， ∵， ∴，即． 故答案为：． 4．（2025八年级上·上海松江·专题练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，二次根式性质， （1）先根据二次根式乘法及性质进行计算，然后根据二次根式加减运算法则进行计算即可； （2）根据二次根式乘法和除法进行计算，然后根据二次根式加减运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：原式 1； （2）原式 ． 5．（24-25八年级上·上海嘉定·期中）请阅读下列材料： 已知，求代数式的值． 小熙根据二次根式的性质：，联想到了如下解法： 由得，，则，即，∴，两边同时乘以x得，，把作为整体，代入原式得，原式． 请运用上述方法解决下列问题： (1)已知，求代数式的值； (2)已知，求代数式的值． 【答案】(1)2025 (2)2026 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用、二次根式的乘法、整体思想等知识点，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算． （1）按照例题的方法解答即可； （2）由题可得，将其两边平方并利用完全平方公式展开，得到；然后整体代入计算即可． 【详解】（1）解：由得，， 则，即， ∴， 把代入原式得， 原式； （2）解：由得，，即， 则，即， ∴，即 两边同时乘以得， 把作为整体，代入原式得， 原式． 【典型例题四 比较二次根式的大小】 【例1】（24-25八年级上·上海长宁·阶段练习）比较大小：与的结果是（   ） A．前者大 B．一样大 C．后者大 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次根式大小比较，先求出与的平方，然后比较大小即可． 【详解】解：∵，， 又∵， ∴， 即前者大， 故选：A． 【例2】（24-25八年级上·上海闵行·阶段练习）比较与大小，正确的是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】将两式相加，再判断结果的符号，从而得到结果． 【详解】解： = = ∵， ∴原式=＜0， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了实数的大小比较，解题的关键是掌握作差法比较大小． 【例3】（24-25八年级上·上海普陀·阶段练习）比较大小： ； （填“”或“”或“”） 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式比较大小，根据可得第一空答案；根据，则，据此可得第二空答案． 【详解】解：∵， ∴；， ∵， ∴， ∴ 故答案为：；． 【例4】（24-25八年级上·上海青浦·期中）化简：① ；② ；③ ；④ ；⑤比较大小： ；⑥ ． 【答案】 【分析】根据零次幂的含义可得①的答案，根据负整数指数幂的含义可得②的答案，根据二次根式的化简法则可得③④的答案，根据二次根式的大小比较的方法可得⑤的答案，根据同分母分式的加减运算的运算法则可得答案． 【详解】解：①； ②； ③； ④； ⑤∵，，而， ∴； ⑥． 故答案为：；；；；；． 【点睛】本题考查的是零次幂，负整数指数幂的含义，二次根式的化简，二次根式的大小比较，同分母分式的加减运算，掌握以上基础运算的运算法则是解本题的关键． 【例5】（24-25八年级上·上海嘉定·期中）（1）用“<”“>”“=”填空：__________ （2）由上可知：①________；②_________ （3）计算：（结果保留根号） ． 【答案】（1）＜，＜；（2）；；（3） 【分析】（1）根据被开方数越大，则算术平方根越大解答； （2）根据绝对值的性质，正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，0的绝对值是0解答； （3）先根据绝对值的性质去掉绝对值号，然后进行加减即可得解． 【详解】解：（1）∵1＜2＜3， ∴＜＜； （2）①∵， ∴； ②∵＜， ∴； （3） = =． 【点睛】本题主要考查了绝对值的性质与实数的运算，熟记绝对值的性质：正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，0的绝对值是0是解题的关键． 1．（24-25八年级上·上海奉贤·阶段练习）在算式“”中，“”表示“”“”“”””中的某一个运算符号．当算式的结果最大时，“口”表示的运算符号是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是二次根式的加减运算，混合运算，二次根式的大小比较，先把选项中的运算符号代入进行计算，再比较大小即可． 【详解】解：， ， ， ， ∵，， ∴当算式的结果最大时，“口”表示的运算符号是； 故选：D 2．（24-25八年级上·全国·单元测试）已知 ， ， ，则下列大小关系正确的是(     ) A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．b＞a＞c D．a＞c＞b 【答案】A 【分析】将a，b，c变形后，根据分母大的反而小比较大小即可． 【详解】解:∵，，， 又， ∴． 故选：A. 【点睛】此题考查了二次根式的大小比较，将根式进行适当的变形是解本题的关键． 3．（24-25八年级上·上海静安·阶段练习）在算式“○□”中，“○”表示实数，“□”表示“”“”“”“”中的某一个运算符号． （1）当“□”表示“－”时，运算结果为，则“○”表示的数为 ；　 （2）若“○”表示的是（）中所求的数，当算式的结果最大时，“□”表示的运算符号是 ． 【答案】 【分析】（）设“○”表示的数为，根据二次根式的加减运算进行计算即可求解； （）根据题意，分别计算当“□”表示“”“”“”“”中的某一个运算符号时的算式，即可求解； 本题考查了二次根式的混合运算，无理数的大小比较，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 【详解】（）设“○”表示的数为， 则，解得：， ∴“○”表示的数为， 故答案为：； （）由（）得：“○”表示的数为， 当“□”运算符号是“”时，， 当“□”运算符号是“”时，， 当“□”运算符号是“”时，， 当“□”运算符号是“”时，， ∴， ∴“□”表示的运算符号是“”， 故答案为：． 4．（24-25八年级上·全国·课后作业）一般地，当、时，如果，那么．例如：，等．试用这个结论比较下列两数的大小： (1)与： (2)与． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了实数的大小比较，二次根式的性质，二次根式的乘法运算，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）先把化成，再比较出和的大小，即可得出答案； （2）先把化成，化成，再比较和的大小，即可得出答案． 【详解】（1）解：， ， ， 即； （2）解：，， ， ， 即， ． 5．（24-25八年级上·上海松江·阶段练习）综合实践活动课上，老师给出一个结论：对于任意两个正数a，b，若，则．随后讲解了一道例题：试比较与的大小． 解：∵，， 而， ∴． 参考上面例题的解法，回答下列问题： (1)试比较与的大小； (2)试比较与的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了实数的大小比较，熟练的利用平方的方法比大小是解题的关键， （1）先分别求出两个数的平方，再根据平方的大小进行比较即可； （2）先分别求出两个数的平方，然后根据平方的大小进行比较，再利用不等式两边同时加上一个数，不等号方向不变，即可得到答案． 【详解】（1）解：，， ∵， ∴， ∴． （2）解：，， ，， ∵， ∴， ∴， ∴． 【典型例题五 分母有理化】 【例1】（2024·上海浦东新·模拟预测）下列各式中，与互为有理化因式的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了是分母有理化，熟练掌握两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式称作互为有理化因式是解题的关键． 根据有理化因式的定义进行判断即可． 【详解】解：由题意知，与互为有理化因式的是， 故选：C． 【例2】（24-25八年级上·全国·单元测试）下列各式中，正确的是个数有(    ). ；；；． A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 【答案】B 【分析】本题考查二次根式的运算．根据各个小题中的式子可以计算是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：①与2不是同类二次根式，不能合并，故错误； ②与不是同类二次根式，不能合并，故错误； ③，故正确； ④，故正确； 所以正确的有2个； 故选：B． 【例3】（24-25八年级上·上海静安·期中）化简 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式化简—分母有理化，熟练掌握二次根式的分母有理化是解题的关键． 分子分母同时乘以，再约分即可． 【详解】解： 故答案为：． 【例4】（24-25八年级上·上海金山·期中）在学习二次根式的过程中，小明发现有一些特殊无理数之间具有互为倒数的关系，例如：由，可得与互为倒数，即，根据小明发现的规律，计算 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简求值、分母有理化，能够归纳总结规律及掌握平方差公式是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴ 故答案为： 【例5】（24-25八年级上·上海闵行·阶段练习）【阅读材料】阅读下列材料，然后回答问题： （材料一）有理化因式：两个含有根式的代数式相乘，如果它们的积不含有根式，那么这两个代数式相互叫做有理化因式． 例如：的有理化因式是的有理化因式是． （材料二）分母有理化：分母有理化又称“有理化分母”，也就是把分母中的根号化去，指的是如果二次根式中分母有根号，那么通常在分子、分母上同乘以一个二次根式，达到化去分母中根号的目的． 例如：． 【知识运用】 (1)填空：的有理化因式是___________（写出一个即可）；的有理化因式是___________． (2)把下列式子分母有理化：． 【答案】(1)（答案不唯一）；（答案不唯一） (2) 【分析】本题考查了有理化因式，以及分母有理化，理解有理化因式的定义是解答本题的关键． （1）根据有理化因式的定义求解即可； （2）把分子、分母都乘以计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴的有理化因式是； ∵， ∴的有理化因式是． 故答案为：（答案不唯一）；（答案不唯一）； （2）解：． 1．（24-25八年级上·上海宝山·阶段练习）化简：结果是（   ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分母有理化及二次根式的加减运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．先将每个分式进行分母有理化，再计算加减即可得出答案． 【详解】解：， 同理可得， 故选B． 2．（24-25八年级上·上海奉贤·期末）陈老师在黑板上写了一个式子：，“□”中的运算符号没有给出，如果要求运算结果是有理数，那么“□”中的运算符号可能是（　　） A．或 B．或 C．或 D．-或 【答案】A 【分析】将“”、“”、“”、“”代入计算，即可求解． 【详解】解：，是有理数，符合题意； ，是无理数，不符合题意， ，是有理数，符合题意； ，是无理数，不符合题意， 故“□”中的运算符号可能是：或， 故选：A． 【点睛】本题考查二次根式运算，熟练掌握运算法则是解决问题的关键． 3．（2025八年级上·全国·专题练习）分母有理化：分母有理化又称“有理化分母”，也就是把分母中的根号化去．指的是如果代数式中分母有根号，那么通常将分子、分母同乘以分母的有理化因式，达到化去分母中根号的目的．如：，观察此算式规律回答问题，已知，则的值是 ． 【答案】0 【分析】本题主要考查了分母有理数化，完全平方公式，先将m进行化简，再将要求的式子变形为，然后代入计算即可． 【详解】解： ∴ ， 故答案为：0． 4．（24-25八年级上·上海普陀·期中）定义：若两个二次根式，满足，且是有理数，则称与是关于的共轭二次根式． (1)若与是关于的共轭二次根式，则_______________； (2)若与是关于4的共轭二次根式，求的值； (3)若与是关于12的共轭二次根式，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查的是新定义的含义，二次根式的乘法与除法运算； （1）由新定义可得，再计算即可； （2）由新定义可得，再计算即可； （3）由新定义可得，再进一步计算即可； 【详解】（1）解： ， ∴； （2）解：， ； （3）解：与是关于12的共轭二次根式， ， ． 5．（24-25八年级上·上海长宁·期中）定义：我们将与称为一对“对偶式”． 因为，所以构造“对偶式”，再将其相乘可以有效的将和中的“”去掉，于是我们学习过的二次根式除法可以这样计算：如．像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化． 根据以上材料，理解定义并运用材料提供的方法，解答以下问题： (1)请直接写出的对偶式_____； (2)已知，，求的值； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的分母有理化、二次根式的乘法与加减法，熟练掌握二次根式的分母有理化是解题关键． （1）根据对偶式的定义即可得； （2）先将分母有理化，再求出的值，然后代入计算即可得． 【详解】（1）解：的对偶式为， 故答案为：． （2）解：∵， ， ∴， ， ， ∴ ． 【典型例题六 已知字母的值，化简求值】 【例1】（24-25八年级上·上海青浦·阶段练习）已知，则代数式的值为（　　） A． B．2 C．-1 D．1 【答案】B 【分析】此题考查了二次根式的运算，熟练掌握完全平方公式，二次根式的运算法则是解题的关键． 先把化成，再把代入计算即可． 【详解】∵ ∴ ． 故选：B． 【例2】（24-25八年级上·上海杨浦·阶段练习）如果，则的值是（    ） A．3 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，完全平方公式和平方差公式，先求出的值，再根据计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， 故选：B． 【例3】（2025·上海宝山·模拟预测）已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式，正确的计算是解题的关键．根据完全平方公式计算和变形即可求解． 【详解】解：∵ ∴， 故答案为：． 【例4】（24-25八年级上·上海青浦·期末）当时，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，先将变形得，再代入求值即可． 【详解】解：， ， ， ， 【例5】（24-25八年级上·上海嘉定·阶段练习）请阅读下列材料： 已知，求代数式的值． 小熙根据二次根式的性质：，联想到了如下解法： 由得，则，即，∴．把作为整体，得：． 请运用上述方法解决下列问题： (1)已知，求代数式的值； (2)已知，求代数式的值． 【答案】(1)2 (2)2025 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用、二次根式的乘法、整体思想等知识点，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算． （1）按照例题的方法解答即可； （2）由得，将其两边平方并利用完全平方公式展开，得到；将整体代入计算即可． 【详解】（1）解：由得， 则， ∴， ∴． （2）解：由得，则， ∴， ∴ ． 1．（24-25八年级上·上海长宁·期中）已知，，，则代数式的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查二次根式的化简求值，把，，代入后计算即可． 【详解】∵，，， ∴， 故选：D． 2．（24-25八年级上·上海虹口·期末）设，，，……，．其中n为正整数，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，先求出，然后把代数式进行化简，再进行计算，即可得到答案． 【详解】解：∵n为正整数， ∴ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝； ∴ ＝（1+）+（1+）+（1+）+…+（1+） ＝2021+1﹣ ＝2021+1﹣ ＝． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，解题的关键是用裂项法将分数化成，再化简，寻找抵消规律求和． 3．（24-25八年级上·上海金山·期末）已知，． （1） ． （2）求的值为 ． 【答案】 8 53 【分析】（1）直接计算即可； （2）先计算出，再把变形为，最后整体代入求值即可． 【详解】解：（1）∵， ∴ 帮答案为：8； （2）∵， ∴ 又 ∴= 故答案为：53 【点睛】本题主要考查了二次根式的代简求值，正确将变形为是解答本题的关键． 4．（24-25八年级上·上海奉贤·期中）先化简再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查的是二次根式的化简求值，先把原式化为，再约分，分母有理化得到化简的结果，再代入，计算即可. 【详解】解：． 代入、的值，得． 5．（24-25八年级上·上海闵行·期中）先化简，再求值：，其中．如图是小亮和小芳的解答过程． (1)_____的解法是错误的； (2)错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质：_____； (3)先化简，再求值：，其中． 【答案】(1)小亮 (2) (3)，8 【分析】本题考查的是二次根式的化简求值，掌握二次根式的性质：是解题的关键． （1）（2）根据二次根式的性质判断即可； （3）根据二次根式的性质把原式化简，把代入计算即可． 【详解】（1）解：小亮的解法是错误的， 故答案为：小亮； （2）解：错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质：， 故答案为：； （3）解： ， 当时，原式． 【典型例题七 已知条件式，化简求值】 【例1】（24-25八年级上·全国·阶段练习）若，则代数式的值是（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【解析】略 【例2】（24-25八年级上·上海金山·期中）已知，则的值是（    ）． A．1 B．－1 C．2019 D．－2019 【答案】B 【分析】利用非负数的性质列出方程组，求出方程组的解得到a与b的值，代入原式计算即可求出值． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选择：B. 【点睛】此题考查了非负数的性质及二元一次方程组，熟练掌握几个非负数的和为零，则每一个非负数都为零是解本题的关键． 【例3】（2024八年级上·全国·专题练习）已知，，则的值为 ． 【答案】3 【分析】根据分母有理化把a、b化简，分别求出a+b、ab，根据完全平方公式把原式变形，代入计算即可． 【详解】解：， ∴ ∴, 故答案为：3． 【点睛】本题考查了分母有理化，熟练掌握平方差公式，和两数和完全平分公式是解答本题的关键． 【例4】（2024·上海虹口·模拟预测）已知实数，满足那么代数式的值为 ． 【答案】1． 【分析】根据和及，可知，和，算出x和y的值，代入代数式计算即可． 【详解】由题意可知， ，， ∴ ∴， 故答案为：1． 【点睛】本题考查绝对值和二次根式的性质，掌握这一点这是解题的关键． 【例5】（24-25八年级上·上海崇明·阶段练习）已知，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 先根据二次根式的运算法则化简得到，再把，整体代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴a、b同号，且a、b均为正数数， ∴ ． 1．（24-25八年级上·全国·单元测试）已知，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了完全平方公式及二次根式的化简求值的知识．将二次三项式变形为的形式后，再整体代入已知条件即可得到答案． 【详解】解：，， ， 故选：B． 2．（24-25八年级上·上海金山·期末）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由，得，故，将平方展开计算，后开平方即可． 【详解】∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴=-或=， ∵， ∴＜0， ∴= -，=不符合题意，舍去， 故选B． 【点睛】本题考查了实数的大小比较，完全平方公式，倒数的意义，平方根，熟练进行大小比较，灵活运用公式计算是解题的关键． 3．（24-25八年级上·上海嘉定·阶段练习）已知实数a，b，c满足，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，非负数的性质，先把代入中得到，再由非负数的性质求出，进而求出，据此可得答案． 【详解】解；∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 4．（24-25八年级上·上海奉贤·阶段练习）已知，，求下列代数式的值． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是求解代数式的值，二次根式的混合运算； （1）先求解，，再把原式化为，再代入计算即可； （2）把原式化为，再代入计算即可； 【详解】（1）解：∵，， ∴， ， ． （2）解：由（1）得，， ． 5．（24-25八年级上·上海宝山·期末）阅读下列材料，然后回答问题． 学习数学，最重要的是学习数学思想，其心一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比如我们熟悉的下面这个题：已知，求我们可以把和看成是一个整体，令，则这样，我们不用求出a，b，就可以得到最后的结果． (1)计算： (2)m是正整数，，，且，求m． (3)已知，求的值． 【答案】(1)26 (2)； (3)． 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，分母有理化，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）先把每一个二次根式进行分母有理化，然后再进行计算即可解答； （2）先利用分母有理化化简，从而求出，，然后根据已知可得，再利用完全平方公式进行计算即可解答； （3）利用完全平方公式，进行计算即可解答． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵，， ∴， ， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∵，， ∴． 【典型例题八 二次根式的应用】 【例1】（24-25八年级上·上海普陀·期末）按一定规律排列的单项式：，第个单项式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的探究规律，通过观察单项式的系数发现第n个单项式的系数为；由，发现第n个单项式的字母次数是，即可求解． 【详解】通过观察单项式的系数发现：第n个单项式的系数为， ∵， ∴第n个单项式的字母次数是， ∴第n个单项式为， 故选：C． 【例2】（2025·上海长宁·模拟预测）如图，大圆的面积为，小圆的面积为，图中三部分的面积分别为，，，其中是，的平均数，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平均数及二次根式的运算．根据平均数的计算方法求解即可． 【详解】解：由题意，得，， 则． 又， ∴， ∴． 故选：A． 【例3】（24-25八年级上·全国·单元测试）三角形的三边长分别为，这个三角形的周长是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式加法的应用，熟练掌握二次根式的运算是解题的关键；由题意易得，然后求解即可． 【详解】解：由题意得：； 故答案为：． 【例4】（2025·上海松江·模拟预测）如图，从一个大正方形中截去面积为和的两个小正方形后剩余部分（阴影部分）的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，根据题意求出阴影部分的面积进而得出答案． 【详解】解：如图所示： 由题意可得：，， 故两个阴影部分面积和为：， 故答案为：． 【例5】（24-25八年级上·上海静安·期中）如图，有一张边长为 的正方形纸板，现将该纸板的四个角剪掉，制作一个有底无盖的长方体盒子，剪掉的四个角是面积相等的小正方形，每个小正方形的边长为 ．求剪掉四个角后，制作长方体盒子的纸板的面积． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式混合运算的应用，准确的计算是解题的关键．利用大正方形的面积减去四个小正方形的面积即可得出答案； 【详解】解：由题意，得 故剪掉四个角后，制作长方体盒子的纸板的面积为 1．（24-25八年级上·上海宝山·阶段练习）图1是一个用铁丝围成的长为，宽为的长方形，若将这根铁丝展开重新首尾相接围成图2所示的正方形，则该正方形的面积是（   ） A．6 B．8 C．7 D．9 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，长方形和正方形的性质，掌握二次根式的运算法则是关键． 先利用长方形的周长公式化简二次根式，求出长方形的周长，再求出正方形边长，进而根据正方形的面积公式，求出正方形面积． 【详解】解：由题意可知，长方形的长为，宽为， ∴长方形的周长为． ∴围成的正方形边长为． ∴正方形面积为． 故选：B． 2．（2025·上海闵行·模拟预测）我国著名的数学家秦九韶在《数书九章》中提出了一种求三角形面积的方法——“三斜求积术”．即可以利用三角形的三条边长来求三角形面积．若设三角形的三条边长分别为，三角形的面积为，则．已知在中，，那么的面积为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查二次根式的应用，熟练掌握二次根式的运算是解题的关键；由题意易得，然后代入题中所给公式即可求解． 【详解】解：由题意得：， ∴； 故选：B． 3．（24-25八年级上·上海杨浦·期中）先观察下列等式，再回答问题： ①； ②； ③； … 请你利用发现的规律，计算： ． 【答案】 【分析】①；②；③，得到，列式计算即可． 本题考查了二次根式中规律探索，实数的计算，熟练掌握规律探索是解题的关键． 【详解】解：①； ②； ③， 故， 故 ， 故答案为：． 4．（24-25八年级上·上海普陀·阶段练习）南宁国际会展中心是中国东盟博览会永久会址，为了宣传南宁国际会展中心的特色与魅力．促进会展经济发展．南宁市某中学课外活动小组制作了精美的会展中心特色卡片，并为卡片制作了包装封皮．其中正方形卡片的边长为，长方形封皮的长、宽之比为，面积为． (1)求长方形封皮的长和宽； (2)活动小组能将卡片不折叠就放入封皮中吗？请通过计算说明理由． 【答案】(1)长方形封皮的长为，宽为 (2)能，计算说明见解析 【分析】本题主要考查了二次根式的实际应用，正确理解题意建立方程求解是解题的关键． （1）设长方形封皮的长为，宽为，再根据长方形面积计算公式建立方程求解即可； （2）比较出长方形封皮的长和宽与正方形卡片的边长的大小关系即可得到结论． 【详解】（1）解：设长方形封皮的长为，宽为， 由题意得，， 解得或（舍去）， ∴， 答：长方形封皮的长为，宽为； （2）解：能，计算如下： ∵， ∴， ∴活动小组能将卡片不折叠就放入封皮中． 5．（24-25八年级上·甘肃兰州·期中）阅读材料: 若两个正数，，则有下面不等式，当时取等号，我们把叫作正数，的算术平均数，把叫作正数，的几何平均数，于是上述不等式可以表述为：两个正数的算术平均数不小于(即大于或等于)它们的几何平均数．它在数学中有广泛的应用，是解决最大(小)值问题的有力工具．不等式可以变形为不等式，当且仅当时取到等号．(，均为正数) 例：已知x>0，求的最小值． 解：由得，当且仅当，即时，有最小值，最小值为．根据上面材料回答下列问题： (1)______；______；(用“”“”“”填空) (2)当，则的最小值为，此时_____； (3)当，则的最小值为______； (4)用篱笆围一个面积为的长方形花园，问这个长方形花园的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短篱笆是多少？ 【答案】(1)， (2)， (3) (4)这个长方形的长、宽为时：所用的篱笆最短，最短的篱笆是 【分析】本题考查了二次根式的性质，理解题意是解题的关键； （1）根据，当且仅当时取到等号．(，均为正数)即可求解． （2）根据例题的方法，，即可求解． （3）将看成整理，即，进而根据，代入即可求解； （4）设这个矩形的长为x米，根据宽=面积÷长，可得宽为米，则所用的篱笆长等于长加宽的和乘以2，根据阅读材料即可求解； 【详解】（1）解：∵，， ∴； ∵ ∴ 故答案为：，． （2）解：∵， ∴ ∴当，即时，有最小值，最小值为 故答案为：，． （3）解：∵ ∴ 设 ∴ 当时，即时，有最小值，最小值为 故答案为：． （4）设这个矩形的长为，所用的篱笆总长为， ∵围一个面积为的长方形花园， ∴宽为， ∴ ∵， ∴， 当且仅当时，即时有最小值，最小值为40． 时，=10， ∴当这个长方形的长、宽为时：所用的篱笆最短，最短的篱笆是． 1．（2024·上海嘉定·模拟预测）若，则（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】A 【分析】把代入计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了求二次根式的值，掌握二次根式的乘方和乘除运算是解题的关键． 2．（24-25八年级上·上海奉贤·期末）若，则表示的值的点落在（   ）    A．区域① B．区域② C．区域③ D．区域④ 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的运算，无理数的估算，实数与数轴，先根据二次根式的加减法则，进行计算，再估算无理数的范围，进而判断出表示的值的点的位置即可． 【详解】解：， ∵， ∴； ∴表示的值的点落在区域③； 故选：C． 3．（24-25八年级上·上海静安·期中）老师设计了一个“接力游戏”，用合作的方式完成二次根式的混合运算，如图，老师把题目交给一位同学，他完成一步解答后交给第二位同学，依次进行，最后完成计算．规则是每人只能看到前一人传过来的式子．接力中，自己负责的式子出现错误的是（   ） A．小明和小丽 B．小丽和小红 C．小红和小亮 D．小丽和小亮 【答案】B 【分析】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的除法运算和性质是解答的关键．根据二次根式的除法法则可和性质逐个判断即可． 【详解】解：∵， ∴小明没有出现错误； ∵， ∴小丽出现错误； ∵， ∴小红出现错误； ∵， ∴小亮没有出现错误， 故自己负责的式子出现错误的是小丽和小红， 故选：B． 4．（24-25八年级上·上海松江·阶段练习）我们知道形如，的数可以化简，其化简的目的主要是把原数分母中的无理数化为有理数．如：，．这样的化简过程叫做分母有理化．我们把叫做的有理化因式，叫做的有理化因式． 利用有理化因式，可以得到如下结论： ①；②设有理数a，b满足，则； ③； ④已知，则； ⑤． 以上结论正确的有（    ） A．①③④ B．①③⑤ C．①②④ D．②③④ 【答案】B 【分析】利用有理化因式进行变形计算后即可判断． 【详解】解：①，故正确； ②， ∴，故错误； ③， ， ∵， ∴，故正确； ④∵，而， ∴，故错误； ⑤ ，故正确； 正确的有①③⑤， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可，再二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 5．（24-25八年级上·上海徐汇·阶段练习）如图，将正方形和正方形放置在较大的正方形中，重叠部分是一个较小的正方形，其面积为1，已知，，则空白部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次根式的应用，先算出三个小正方形的边长，再算出大正方形的边长，最后通过面积的计算求解，即可解题． 【详解】解：正方形和正方形的面积分别为，， 正方形和正方形的边长分别为，， 重叠部分是一个较小的正方形，其面积为1， 重叠部分的正方形边长为1， 大的正方形边长为， 空白部分的面积为， 故选：A． 6．（2025·上海静安·模拟预测）计算的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简，熟练二次根式化简是解题的关键．运用二次根式的性质化简即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 7．（24-25八年级上·上海宝山·期末）已知，，则的值为 ． 【答案】15 【分析】本题考查二次根式化简求值．结合完全平方公式整体代入求值即可求解． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， 故答案为：15． 8．（24-25八年级上·上海虹口·期中）若，则化简 ． 【答案】 【分析】根据二次根式的性质，可得，根据二次根式的性质，可化简二次根式，根据整式的加减，可得答案． 【详解】解：由，得， ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的加减，解题关键是利用二次根式的性质化简二次根式． 9．（24-25八年级上·上海杨浦·期中）比较大小： ； ； . 【答案】 【分析】根据二次根式性质比较大小即可得到结论． 【详解】解：①， ； ②， ； ③， ， ， ，即； 故答案为：；；． 【点睛】本题考查二次根式比较大小，熟练掌握二次根式性质是解决问题的关键． 10．（24-25八年级上·上海嘉定·阶段练习）观察下列各式： ， ， ， 请利用你发现的规律，计算： ，其结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的性质与化简及数字变化的规律，能用含n的等式表示出第n个式子是解题的关键． 观察题中所给式子各部分的变化规律即可解决问题． 【详解】解： = = = =． 故答案为：． 11．（24-25八年级上·上海青浦·课后作业）计算： (1)： (2)： (3)： (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，解题关键是牢记运算法则． （1）先化简，再合并同类二次根式即可； （2）先化简，再去括号，合并同类二次根式即可； （3）先化简各项，再合并同类二次根式即可； （4）先化简各项与去括号，再合并同类二次根式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 12．（24-25八年级上·上海长宁·课后作业）已知，，比较与的大小． 【答案】 【分析】将、分别平方后，比较即可得． 【详解】解：、， 因为大于， 所以． 【点睛】本题主要考查实数的大小比较，解题的关键是熟练掌握实数的大小比较的方法和二次根式的运算法则． 13．（24-25八年级上·上海嘉定·期末）若，，求下列各式的值． (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值． （1）直接代入求解即可； （2）求得和的值，再代入计算即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：∵，， ∴；， ∴． 14．（24-25八年级上·上海奉贤·期中）小芳在解决问题：“已知，求的值”时，她是这样分析与解的： ， 请你根据小芳的分析过程，解决如下问题： (1)求的值； (2)若， ①求的值； ②直接写出代数式的值：________． 【答案】(1)10 (2)①5② 【分析】（1）原式各项分母有理化，计算即可求出值； （2）①先把a分母有理化可得到，从而得到，再把式子进行整理，将代入计算即可求出值； ②将式子整理成，再代入，即可求解． 本题考查了分母有理化，二次根式的化简求值，正确读懂例题，对二次根式进行化简是关键． 【详解】（1）解： ； （2）解：①∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②∵， ∴ ． 故答案为： 15．（24-25八年级上·上海杨浦·期中）现有两块同样大小的矩形纸片，嘉嘉采用如图1所示的方式，在矩形纸片上裁出两块面积分别为和的正方形纸片A，B． (1)裁出的正方形纸片A的边长为________； (2)求图1中阴影部分的面积； (3)琪琪想采用如图2所示的方式在矩形纸片上裁出两块边长都是的正方形纸片，请你判断能否裁出，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)能，理由见解析 【分析】本题考查了二次根式的混合运算的实际应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据正方形面积等于边长的平方，结合面积为，即可计算正方形纸片A的边长； （2）阴影部分的长为正方形A的边长，宽为正方形B的边长减去正方形A的边长，再由面积公式求解即可； （3）比较长方形的边长与两个边长的正方形的边长和即可． 【详解】（1）解：∵正方形纸片A的面积为， ∴边长为：， 故答案为：； （2）解：由题意得，方形纸片B的边长为， ∴图1中阴影部分的面积为； （3）解：能，理由如下： ∵，，而，， ∴能裁出． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 二次根式的运算（4大知识点+8大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 二次根式的加减运算 典型例题二 二次根式的乘除法运算 典型例题三 二次根式的混合运算 典型例题四 比较二次根式的大小 典型例题五 分母有理化 典型例题六 已知字母的值，化简求值 典型例题七 已知条件式，化简求值 典型例题八 二次根式的应用 知识点01 二次根式的加减 1. 二次根式加减法则：先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。 2. 二次根式加减运算的步骤： ①化：将各个二次根式化成最简二次根式； ②找：找出化简后被开方数相同的二次根式； ③合：合并被开方数相同的二次根式——将”系数”相加作为和的系数，根指数与被开方数保持不变。 知识02 二次根式的乘法 二次根式的乘法 ·＝．（a≥0，b≥0） 文字语言：二次根式与二次根式相乘，等于各个被开数的积的算术平方根. 推广： 知识点03 二次根式的除法 二次根式的除法：=（a≥0，b>0） 文字语言：二次根式与二次根式相乘，等于各个被开数的商的算术平方根. 知识点04 二次根式的混合运算 二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的（或先去掉括号） 【典型例题一 二次根式的加减运算】 【例1】（24-25八年级上·上海金山·期中）下列各式计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式的化简及减法计算，正确理解二次根式减法法则以及二次根式性质是解答问题的关键．根据二次根式的减法、以及二次根式的性质即可分别作出判断． 【详解】解：A、，故选项错误； B、，故选项正确； C、，故选项错误； D、与被开方数不同，不能合并，选项错误． 故选：B． 【例2】（24-25八年级上·上海嘉定·阶段练习）估计的值应在（    ） A．4到5之间 B．5到6之间 C．6到7之间 D．7到8之间 【答案】B 【分析】本题主要考查估算无理数的大小，二次根式的加减运算，先计算加法运算，再估算大小即可． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴的值应在5到6之间； 故选：B 【例3】（24-25八年级上·上海杨浦·期中）化简计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式的加法，先把二次根式化简后再合并即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【例4】（24-25八年级上·上海闵行·阶段练习）已知，，，且A、B、C是可以合并的最简二次根式，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查最简二次根式，二次根式的加减．根据A、B、C是可以合并的最简二次根式，得到A、B、C的被开方数相同，即可求得A、B、C，再根据二次根式的加减法运算法则计算即可． 【详解】解：∵A、B、C是可以合并的最简二次根式， ∴， ∴，， ∴，，， ∴． 故答案为： 【例5】（24-25八年级上·全国·课后作业）计算： (1) (2) (3) (4) (5)； (6) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】本题考查了二次根式的加减运算，掌握二次根式的性质与加减运算法则是解题的关键； （1）直接合并同类二次根式，即可求解； （2）根据二次根式的性质化简再合并同类二次根式，即可求解； （3）根据二次根式的性质化简再合并同类二次根式，即可求解； （4）根据二次根式的性质化简再合并同类二次根式，即可求解； （5）根据二次根式的性质化简再合并同类二次根式，即可求解； （6）根据二次根式的性质化简再合并同类二次根式，即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ． 1．（24-25八年级上·上海徐汇·阶段练习）若，则a和b的值不可能是（   ） A． B．， C．， D． 【答案】D 【分析】本题主要考查实数的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据运算法则进行求解即可． 【详解】解：，故选项A不符合题意； ，故选项B不符合题意； ，故选项C不符合题意； ，故选项D符合题意； 故选D． 2．（24-25八年级上·上海嘉定·阶段练习）已知实数a、b，定义“△”运算如下：，计算的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次根式的加减运算，解题关键是理解新定义的含义，列出正确的算式． 根据已知条件中的新定义，列出算式，进行二次根式的加减法即可； 【详解】解：∵， ∴ 故选：A 3．（24-25八年级上·上海青浦·期中）我们规定：对于任意的正数、的运算“”为：当时，；当时，，其他运算符号意义不变．按上述规定，计算的结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义下的实数运算，涉及二次根式的性质和加减运算，明确新定义运算的法则是解题的关键．根据新定义当时，；当时，，列式求解，即可解题． 【详解】解：当时，；当时，， ， ， ， ． 故答案为：． 4．（24-25八年级上·全国·课后作业）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查二次根式的加减运算，熟练掌握加减运算法则，是解题的关键： （1）直接合并即可； （2）先化简，再合并即可； （3）先化简，再合并即可； （4）先化简，再合并即可． 【详解】（1）解：原式； （2）原式； （3）原式； （4）原式． 5．（24-25八年级上·上海松江·期中）阅读下面的文字，解答问题： 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？ 事实上，小明的表示方法是有道理，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 又例如： ∵，即， ∴的整数部分为2，小数部分为．请解答： (1)的整数部分是 ，小数部分是 ． (2)已知：，其中x是整数，且，求的相反数． 【答案】(1)4， (2) 【分析】本题考查了估算无理数的大小． （1）先估算出的范围，即可得出答案； （2）先估算出的范围，求出x、y的值，再代入求出即可． 【详解】（1）解：∵， ∴的整数部分是4，小数部分是， 故答案为：4，； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵，其中x是整数，且， ∴，， ∴， ∴的相反数是． 【典型例题二 二次根式的乘除法运算】 【例1】（24-25八年级上·全国·课后作业）若，则化简所得结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的乘除法，解题的关键是熟练运用二次根式的乘除运算法则，本题属于基础题型． 根据二次根式的乘除运算法则即可求出答案． 【详解】解：原式， 故选：C． 【例2】（24-25八年级上·上海虹口·期中）在解决如下问题“已知，，用含，的代数式表示”时，甲、乙两个同学分别给出不同解法： 甲：． 乙：因为，所以． 对于这两种解法，正确的是（    ） A．甲对 B．乙对 C．甲、乙均对 D．甲、乙均不对 【答案】C 【分析】仔细阅读两同学的解题过程，然后判断． 【详解】甲：， ∴甲正确； 乙：， ∵， ∴． ∴乙正确； 综上所述，甲、乙均对． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次根式的乘除法，解答本题的关键是掌握仔细阅读题目，灵活解题． 【例3】（24-25八年级上·上海·单元测试）计算： ． 【答案】 【分析】根据二次根式的混合运算进行计算即可求解． 【详解】     ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的乘除法混合运算，掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 【例4】（24-25八年级上·上海嘉定·期末）计算：①×＝ ，②＝ ，③＝ ． 【答案】 5 【分析】①利用二次根式的乘法法则运算，最后化成最简二次根式即可；②利用二次根式的乘法法则运算，最后化成最简二次根式即可；③利用算术平方根的意义化简即可． 【详解】解：①； ②； ③． 故答案为：；5；． 【点睛】本题主要考查了二次根式的乘除法，二次根式的性质与化简，算术平方根的意义．二次根式的乘除法的结果一定要化成最简二次根式，这是解题的关键． 【例5】（24-25八年级上·上海长宁·阶段练习）下面是小星同学解答题目的过程，请认真阅读并完成相应任务． 计算：． 解：原式        第一步         第二步 ．        第三步 计算． 解：原式        第一步         第二步 ．        第三步 (1)任务一：以上步骤中，从第_____步开始出现错误，这一步错误的原因是__________； (2)任务二：请写出正确的计算过程． 【答案】(1)一，乘除混合运算时，未按照从左到右的顺序依次计算 (2)见解析 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）乘除同级运算，应是从左到右运算，即可作答． （2）先运算除法，再运算乘法，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，以上步骤中，从第一步开始出现错误，这一步错误的原因是乘除混合运算时，未按照从左到右的顺序依次计算； （2）解：依题意，正确的计算过程： 原式． 1．（24-25八年级上·上海普陀·期末）下列各式正确的是 (    ) A． ×＝9 B．(4)2＝8 C．÷ D．＝7－4 【答案】D 【分析】根据二次根式的运算法则分别对各项进行计算然后判断即可． 【详解】A．×＝3，故该选项错误； B．(4)2＝32，故该选项错误； C．÷＝=3，故该选项错误； D．∵4＝，7＝， <，即4<7， ∴＝7－4， 故选：D 【点睛】本题考查了二次根式的运算和求算术平方根，熟悉相关性质是解题的关键 2．（24-25八年级上·上海青浦·期末）下面是小秋同学做的四道题：①＝4x2；②（a≥0）；③（a＞0）；④（a＞0）．你认为他做得正确的有（　　） A．1道 B．2道 C．3道 D．4道 【答案】B 【分析】利用二次根式的性质对①进行判断；根据二次根式的乘法法则对②③进行判断；根据二次根式的加减法对④进行判断． 【详解】＝4x2；所以①正确； ＝3（a≥0），所以②错误； （a＞0），所以③正确； 与﹣不能合并，所以④错误． 故选B． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可.在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍. 3．（24-25八年级上·上海奉贤·阶段练习）山西剪纸是最古老的汉族民间艺术之一，被誉为流淌在刀尖上的舞蹈．剪纸作为一种镂空艺术，在视觉上给人以透空的感觉和艺术享受．张萌现用一张长方形彩纸和一张正方形彩纸各剪了一个图案．若长方形彩纸的长为，宽为，且长方形彩纸的面积是正方形彩纸面积的倍，则正方形彩纸的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的乘除运算的应用，熟练掌握二次根式的乘除运算法则是解决此题的关键．先算出长方形彩纸的面积，再由长方形彩纸的面积是正方形彩纸面积的倍，进行计算即可得解． 【详解】解：∵长方形彩纸的长为，宽为， ∴长方形彩纸的面积为， ∵长方形彩纸的面积是正方形彩纸面积的倍， ∴正方形彩纸的面积为． 故答案为： ． 4．（24-25八年级上·全国·课后作业）在表格中填数，使每一行、每一列、每条对角线上的3个数的乘积都是1． 【答案】见解析 【分析】本题考查了二次根式的乘除法运算，根据题意，先求得和中间所要填写的数字，然后计算其余的空，即可求解． 【详解】解：， 如表格， 5．（2025八年级上·上海松江·专题练习）阅读材料1： 在不等式领域，有一个叫基本不等式的工具，表述如下：对于任意的正数a、b，都有，当且仅当时等号成立，它是解决最值问题的有力工具． 例如：在的条件下，，当且仅当时，即时等号成立，从而有最小值2． 阅读材料2： 我们知道，假分数可以写成一个整数与一个真分数的和，如，当分式的分母次数小于分子的次数时，也有类似的变换，如： (1)若为正数，则的最小值为______，此时，______； (2)若为正数，则的最小值为______，此时，______； (3)求下列分式在给定的的取值范围内的最小值，并指出取得最小值时对应的的值． ① ② 【答案】(1)6，3 (2)， (3)①时，原式有最小值4，②时，原式有最小值5 【分析】本题考查了分式的化简求值、二次根式的应用，熟练掌握运算法则，理解题干所给例子是解此题的关键． （1）由题意可得的最小值为，此时，计算即可得解； （2）由题意可得的最小值为，此时，计算即可得解； （3）①仿照题干所给例子，计算即可得解；②仿照题干所给例子，计算即可得解． 【详解】（1）解：∵对于任意的正数a、b，都有，当且仅当时等号成立， ∴x为正数，则的最小值为，此时， 解得：或（不符合题意，舍去）； （2）∵对于任意的正数a、b，都有，当且仅当时等号成立， ∴x为正数，则的最小值为，此时， 解得：或（不符合题意，舍去）； （3）① = 当且仅当时取等号，得 或，即或， 又， 当时取等号，即时，原式有最小值4． ② = 当且仅当时取等号，得 或，即或， 又， ∴当时取等号，即时，原式有最小值5． 【典型例题三 二次根式的混合运算】 【例1】（2025·上海长宁·模拟预测）估计的值应在（   ） A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，无理数的估算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．先计算出原式等于 ，可得，即可求解． 【详解】解： ； ∵，即， ∴的值应在4和5之间． 故选：B． 【例2】（24-25八年级上·上海松江·期中）下列各式计算：①；②；③；④中，正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键，根据二次根式的加减乘除法则进行计算即可． 【详解】解：①，①正确； ②，②正确； ③，③正确； ④，④错误 故选：C． 【例3】（24-25八年级上·全国·课后作业）计算： ， ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键．根据二次根式的混合运算法则求解即可． 【详解】解：， ， 故答案为：，． 【例4】（24-25八年级上·上海普陀·阶段练习）幻方是一种传统游戏，类比幻方，我们给出如图所示的方格，要使方格中横向、纵向及对角线方向上的实数相乘的结果都相等，则的值为 ． 5 10 【答案】/ 【分析】本题考查二次根式的混合运算，先根据幻方规则和二次根式的混合运算分别求得A、B、C、D，然后代值求解即可． 【详解】解：∵方格中横向、纵向及对角线方向上的实数相乘的结果都相等， ∴， ， ， ， ∴ ． 故答案为：． 【例5】（24-25八年级上·上海闵行·期中）问题解决：已知，求代数式的值． 小敏的做法是：根据得， ∴，得：． 把作为整体代入：得． 方法归纳：把已知条件适当变形，再整体代入解决问题． 迁移应用：已知，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的运算，解题的关键是读懂题意运用整体思想．按照题中所给的方法得出，然后整体代入求解即可． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 1．（24-25八年级上·上海长宁·期中）已知，则的值保留小数点后两位是（    ） A．6.93 B．3.47 C．3.46 D．1.73 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的混合计算，先化简二次根式和利用平方差公式去括号，再计算乘法后得到对应式子的结果即可得到答案． 【详解】解： ， ∵， ∴， 故选：C ． 2．（24-25八年级上·上海宝山·阶段练习）如图，一个矩形被分割成四部分，已知图形①②③都是正方形，且正方形③的面积为2，阴影部分的面积为，则正方形①的面积为（   ） A． B． C．24 D．28 【答案】A 【分析】本题考查了算术平方根，二次根式的加减运算等知识点，熟练掌握利用算术平方根和线段的和差得出边长是解决此题的关键． 根据开方运算，可得正方形③的边长，再根据阴影面积可得阴影长，进而可得正方形②的边长，利用长方形的边长的和差，即可得答案． 【详解】正方形③的面积为2， 正方形③的边长是， 阴影部分的面积为， 阴影部分的长为， 正方形②的边长为， 正方形①的边长是， 正方形①的面积为． 故选：A． 3．（2025·上海虹口·模拟预测）阅读下列解题过程，并解答问题． ①； ②． 比较大小： （填“”或“”或“”） 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算等知识点，掌握二次根式混合运算的运算法则是解题的关键． 根据阅读材料，可以将与变形，从而可以求得与的大小关系． 【详解】解：，， ∵， ∴，即． 故答案为：． 4．（2025八年级上·上海松江·专题练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，二次根式性质， （1）先根据二次根式乘法及性质进行计算，然后根据二次根式加减运算法则进行计算即可； （2）根据二次根式乘法和除法进行计算，然后根据二次根式加减运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：原式 1； （2）原式 ． 5．（24-25八年级上·上海嘉定·期中）请阅读下列材料： 已知，求代数式的值． 小熙根据二次根式的性质：，联想到了如下解法： 由得，，则，即，∴，两边同时乘以x得，，把作为整体，代入原式得，原式． 请运用上述方法解决下列问题： (1)已知，求代数式的值； (2)已知，求代数式的值． 【答案】(1)2025 (2)2026 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用、二次根式的乘法、整体思想等知识点，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算． （1）按照例题的方法解答即可； （2）由题可得，将其两边平方并利用完全平方公式展开，得到；然后整体代入计算即可． 【详解】（1）解：由得，， 则，即， ∴， 把代入原式得， 原式； （2）解：由得，，即， 则，即， ∴，即 两边同时乘以得， 把作为整体，代入原式得， 原式． 【典型例题四 比较二次根式的大小】 【例1】（24-25八年级上·上海长宁·阶段练习）比较大小：与的结果是（   ） A．前者大 B．一样大 C．后者大 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次根式大小比较，先求出与的平方，然后比较大小即可． 【详解】解：∵，， 又∵， ∴， 即前者大， 故选：A． 【例2】（24-25八年级上·上海闵行·阶段练习）比较与大小，正确的是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】将两式相加，再判断结果的符号，从而得到结果． 【详解】解： = = ∵， ∴原式=＜0， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了实数的大小比较，解题的关键是掌握作差法比较大小． 【例3】（24-25八年级上·上海普陀·阶段练习）比较大小： ； （填“”或“”或“”） 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式比较大小，根据可得第一空答案；根据，则，据此可得第二空答案． 【详解】解：∵， ∴；， ∵， ∴， ∴ 故答案为：；． 【例4】（24-25八年级上·上海青浦·期中）化简：① ；② ；③ ；④ ；⑤比较大小： ；⑥ ． 【答案】 【分析】根据零次幂的含义可得①的答案，根据负整数指数幂的含义可得②的答案，根据二次根式的化简法则可得③④的答案，根据二次根式的大小比较的方法可得⑤的答案，根据同分母分式的加减运算的运算法则可得答案． 【详解】解：①； ②； ③； ④； ⑤∵，，而， ∴； ⑥． 故答案为：；；；；；． 【点睛】本题考查的是零次幂，负整数指数幂的含义，二次根式的化简，二次根式的大小比较，同分母分式的加减运算，掌握以上基础运算的运算法则是解本题的关键． 【例5】（24-25八年级上·上海嘉定·期中）（1）用“<”“>”“=”填空：__________ （2）由上可知：①________；②_________ （3）计算：（结果保留根号） ． 【答案】（1）＜，＜；（2）；；（3） 【分析】（1）根据被开方数越大，则算术平方根越大解答； （2）根据绝对值的性质，正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，0的绝对值是0解答； （3）先根据绝对值的性质去掉绝对值号，然后进行加减即可得解． 【详解】解：（1）∵1＜2＜3， ∴＜＜； （2）①∵， ∴； ②∵＜， ∴； （3） = =． 【点睛】本题主要考查了绝对值的性质与实数的运算，熟记绝对值的性质：正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，0的绝对值是0是解题的关键． 1．（24-25八年级上·上海奉贤·阶段练习）在算式“”中，“”表示“”“”“”””中的某一个运算符号．当算式的结果最大时，“口”表示的运算符号是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是二次根式的加减运算，混合运算，二次根式的大小比较，先把选项中的运算符号代入进行计算，再比较大小即可． 【详解】解：， ， ， ， ∵，， ∴当算式的结果最大时，“口”表示的运算符号是； 故选：D 2．（24-25八年级上·全国·单元测试）已知 ， ， ，则下列大小关系正确的是(     ) A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．b＞a＞c D．a＞c＞b 【答案】A 【分析】将a，b，c变形后，根据分母大的反而小比较大小即可． 【详解】解:∵，，， 又， ∴． 故选：A. 【点睛】此题考查了二次根式的大小比较，将根式进行适当的变形是解本题的关键． 3．（24-25八年级上·上海静安·阶段练习）在算式“○□”中，“○”表示实数，“□”表示“”“”“”“”中的某一个运算符号． （1）当“□”表示“－”时，运算结果为，则“○”表示的数为 ；　 （2）若“○”表示的是（）中所求的数，当算式的结果最大时，“□”表示的运算符号是 ． 【答案】 【分析】（）设“○”表示的数为，根据二次根式的加减运算进行计算即可求解； （）根据题意，分别计算当“□”表示“”“”“”“”中的某一个运算符号时的算式，即可求解； 本题考查了二次根式的混合运算，无理数的大小比较，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 【详解】（）设“○”表示的数为， 则，解得：， ∴“○”表示的数为， 故答案为：； （）由（）得：“○”表示的数为， 当“□”运算符号是“”时，， 当“□”运算符号是“”时，， 当“□”运算符号是“”时，， 当“□”运算符号是“”时，， ∴， ∴“□”表示的运算符号是“”， 故答案为：． 4．（24-25八年级上·全国·课后作业）一般地，当、时，如果，那么．例如：，等．试用这个结论比较下列两数的大小： (1)与： (2)与． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了实数的大小比较，二次根式的性质，二次根式的乘法运算，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）先把化成，再比较出和的大小，即可得出答案； （2）先把化成，化成，再比较和的大小，即可得出答案． 【详解】（1）解：， ， ， 即； （2）解：，， ， ， 即， ． 5．（24-25八年级上·上海松江·阶段练习）综合实践活动课上，老师给出一个结论：对于任意两个正数a，b，若，则．随后讲解了一道例题：试比较与的大小． 解：∵，， 而， ∴． 参考上面例题的解法，回答下列问题： (1)试比较与的大小； (2)试比较与的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了实数的大小比较，熟练的利用平方的方法比大小是解题的关键， （1）先分别求出两个数的平方，再根据平方的大小进行比较即可； （2）先分别求出两个数的平方，然后根据平方的大小进行比较，再利用不等式两边同时加上一个数，不等号方向不变，即可得到答案． 【详解】（1）解：，， ∵， ∴， ∴． （2）解：，， ，， ∵， ∴， ∴， ∴． 【典型例题五 分母有理化】 【例1】（2024·上海浦东新·模拟预测）下列各式中，与互为有理化因式的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了是分母有理化，熟练掌握两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式称作互为有理化因式是解题的关键． 根据有理化因式的定义进行判断即可． 【详解】解：由题意知，与互为有理化因式的是， 故选：C． 【例2】（24-25八年级上·全国·单元测试）下列各式中，正确的是个数有(    ). ；；；． A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 【答案】B 【分析】本题考查二次根式的运算．根据各个小题中的式子可以计算是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：①与2不是同类二次根式，不能合并，故错误； ②与不是同类二次根式，不能合并，故错误； ③，故正确； ④，故正确； 所以正确的有2个； 故选：B． 【例3】（24-25八年级上·上海静安·期中）化简 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式化简—分母有理化，熟练掌握二次根式的分母有理化是解题的关键． 分子分母同时乘以，再约分即可． 【详解】解： 故答案为：． 【例4】（24-25八年级上·上海金山·期中）在学习二次根式的过程中，小明发现有一些特殊无理数之间具有互为倒数的关系，例如：由，可得与互为倒数，即，根据小明发现的规律，计算 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简求值、分母有理化，能够归纳总结规律及掌握平方差公式是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴ 故答案为： 【例5】（24-25八年级上·上海闵行·阶段练习）【阅读材料】阅读下列材料，然后回答问题： （材料一）有理化因式：两个含有根式的代数式相乘，如果它们的积不含有根式，那么这两个代数式相互叫做有理化因式． 例如：的有理化因式是的有理化因式是． （材料二）分母有理化：分母有理化又称“有理化分母”，也就是把分母中的根号化去，指的是如果二次根式中分母有根号，那么通常在分子、分母上同乘以一个二次根式，达到化去分母中根号的目的． 例如：． 【知识运用】 (1)填空：的有理化因式是___________（写出一个即可）；的有理化因式是___________． (2)把下列式子分母有理化：． 【答案】(1)（答案不唯一）；（答案不唯一） (2) 【分析】本题考查了有理化因式，以及分母有理化，理解有理化因式的定义是解答本题的关键． （1）根据有理化因式的定义求解即可； （2）把分子、分母都乘以计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴的有理化因式是； ∵， ∴的有理化因式是． 故答案为：（答案不唯一）；（答案不唯一）； （2）解：． 1．（24-25八年级上·上海宝山·阶段练习）化简：结果是（   ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分母有理化及二次根式的加减运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．先将每个分式进行分母有理化，再计算加减即可得出答案． 【详解】解：， 同理可得， 故选B． 2．（24-25八年级上·上海奉贤·期末）陈老师在黑板上写了一个式子：，“□”中的运算符号没有给出，如果要求运算结果是有理数，那么“□”中的运算符号可能是（　　） A．或 B．或 C．或 D．-或 【答案】A 【分析】将“”、“”、“”、“”代入计算，即可求解． 【详解】解：，是有理数，符合题意； ，是无理数，不符合题意， ，是有理数，符合题意； ，是无理数，不符合题意， 故“□”中的运算符号可能是：或， 故选：A． 【点睛】本题考查二次根式运算，熟练掌握运算法则是解决问题的关键． 3．（2025八年级上·全国·专题练习）分母有理化：分母有理化又称“有理化分母”，也就是把分母中的根号化去．指的是如果代数式中分母有根号，那么通常将分子、分母同乘以分母的有理化因式，达到化去分母中根号的目的．如：，观察此算式规律回答问题，已知，则的值是 ． 【答案】0 【分析】本题主要考查了分母有理数化，完全平方公式，先将m进行化简，再将要求的式子变形为，然后代入计算即可． 【详解】解： ∴ ， 故答案为：0． 4．（24-25八年级上·上海普陀·期中）定义：若两个二次根式，满足，且是有理数，则称与是关于的共轭二次根式． (1)若与是关于的共轭二次根式，则_______________； (2)若与是关于4的共轭二次根式，求的值； (3)若与是关于12的共轭二次根式，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查的是新定义的含义，二次根式的乘法与除法运算； （1）由新定义可得，再计算即可； （2）由新定义可得，再计算即可； （3）由新定义可得，再进一步计算即可； 【详解】（1）解： ， ∴； （2）解：， ； （3）解：与是关于12的共轭二次根式， ， ． 5．（24-25八年级上·上海长宁·期中）定义：我们将与称为一对“对偶式”． 因为，所以构造“对偶式”，再将其相乘可以有效的将和中的“”去掉，于是我们学习过的二次根式除法可以这样计算：如．像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化． 根据以上材料，理解定义并运用材料提供的方法，解答以下问题： (1)请直接写出的对偶式_____； (2)已知，，求的值； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的分母有理化、二次根式的乘法与加减法，熟练掌握二次根式的分母有理化是解题关键． （1）根据对偶式的定义即可得； （2）先将分母有理化，再求出的值，然后代入计算即可得． 【详解】（1）解：的对偶式为， 故答案为：． （2）解：∵， ， ∴， ， ， ∴ ． 【典型例题六 已知字母的值，化简求值】 【例1】（24-25八年级上·上海青浦·阶段练习）已知，则代数式的值为（　　） A． B．2 C．-1 D．1 【答案】B 【分析】此题考查了二次根式的运算，熟练掌握完全平方公式，二次根式的运算法则是解题的关键． 先把化成，再把代入计算即可． 【详解】∵ ∴ ． 故选：B． 【例2】（24-25八年级上·上海杨浦·阶段练习）如果，则的值是（    ） A．3 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，完全平方公式和平方差公式，先求出的值，再根据计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， 故选：B． 【例3】（2025·上海宝山·模拟预测）已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式，正确的计算是解题的关键．根据完全平方公式计算和变形即可求解． 【详解】解：∵ ∴， 故答案为：． 【例4】（24-25八年级上·上海青浦·期末）当时，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，先将变形得，再代入求值即可． 【详解】解：， ， ， ， 【例5】（24-25八年级上·上海嘉定·阶段练习）请阅读下列材料： 已知，求代数式的值． 小熙根据二次根式的性质：，联想到了如下解法： 由得，则，即，∴．把作为整体，得：． 请运用上述方法解决下列问题： (1)已知，求代数式的值； (2)已知，求代数式的值． 【答案】(1)2 (2)2025 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用、二次根式的乘法、整体思想等知识点，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算． （1）按照例题的方法解答即可； （2）由得，将其两边平方并利用完全平方公式展开，得到；将整体代入计算即可． 【详解】（1）解：由得， 则， ∴， ∴． （2）解：由得，则， ∴， ∴ ． 1．（24-25八年级上·上海长宁·期中）已知，，，则代数式的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查二次根式的化简求值，把，，代入后计算即可． 【详解】∵，，， ∴， 故选：D． 2．（24-25八年级上·上海虹口·期末）设，，，……，．其中n为正整数，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，先求出，然后把代数式进行化简，再进行计算，即可得到答案． 【详解】解：∵n为正整数， ∴ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝； ∴ ＝（1+）+（1+）+（1+）+…+（1+） ＝2021+1﹣ ＝2021+1﹣ ＝． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，解题的关键是用裂项法将分数化成，再化简，寻找抵消规律求和． 3．（24-25八年级上·上海金山·期末）已知，． （1） ． （2）求的值为 ． 【答案】 8 53 【分析】（1）直接计算即可； （2）先计算出，再把变形为，最后整体代入求值即可． 【详解】解：（1）∵， ∴ 帮答案为：8； （2）∵， ∴ 又 ∴= 故答案为：53 【点睛】本题主要考查了二次根式的代简求值，正确将变形为是解答本题的关键． 4．（24-25八年级上·上海奉贤·期中）先化简再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查的是二次根式的化简求值，先把原式化为，再约分，分母有理化得到化简的结果，再代入，计算即可. 【详解】解：． 代入、的值，得． 5．（24-25八年级上·上海闵行·期中）先化简，再求值：，其中．如图是小亮和小芳的解答过程． (1)_____的解法是错误的； (2)错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质：_____； (3)先化简，再求值：，其中． 【答案】(1)小亮 (2) (3)，8 【分析】本题考查的是二次根式的化简求值，掌握二次根式的性质：是解题的关键． （1）（2）根据二次根式的性质判断即可； （3）根据二次根式的性质把原式化简，把代入计算即可． 【详解】（1）解：小亮的解法是错误的， 故答案为：小亮； （2）解：错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质：， 故答案为：； （3）解： ， 当时，原式． 【典型例题七 已知条件式，化简求值】 【例1】（24-25八年级上·全国·阶段练习）若，则代数式的值是（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【解析】略 【例2】（24-25八年级上·上海金山·期中）已知，则的值是（    ）． A．1 B．－1 C．2019 D．－2019 【答案】B 【分析】利用非负数的性质列出方程组，求出方程组的解得到a与b的值，代入原式计算即可求出值． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选择：B. 【点睛】此题考查了非负数的性质及二元一次方程组，熟练掌握几个非负数的和为零，则每一个非负数都为零是解本题的关键． 【例3】（2024八年级上·全国·专题练习）已知，，则的值为 ． 【答案】3 【分析】根据分母有理化把a、b化简，分别求出a+b、ab，根据完全平方公式把原式变形，代入计算即可． 【详解】解：， ∴ ∴, 故答案为：3． 【点睛】本题考查了分母有理化，熟练掌握平方差公式，和两数和完全平分公式是解答本题的关键． 【例4】（2024·上海虹口·模拟预测）已知实数，满足那么代数式的值为 ． 【答案】1． 【分析】根据和及，可知，和，算出x和y的值，代入代数式计算即可． 【详解】由题意可知， ，， ∴ ∴， 故答案为：1． 【点睛】本题考查绝对值和二次根式的性质，掌握这一点这是解题的关键． 【例5】（24-25八年级上·上海崇明·阶段练习）已知，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 先根据二次根式的运算法则化简得到，再把，整体代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴a、b同号，且a、b均为正数数， ∴ ． 1．（24-25八年级上·全国·单元测试）已知，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了完全平方公式及二次根式的化简求值的知识．将二次三项式变形为的形式后，再整体代入已知条件即可得到答案． 【详解】解：，， ， 故选：B． 2．（24-25八年级上·上海金山·期末）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由，得，故，将平方展开计算，后开平方即可． 【详解】∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴=-或=， ∵， ∴＜0， ∴= -，=不符合题意，舍去， 故选B． 【点睛】本题考查了实数的大小比较，完全平方公式，倒数的意义，平方根，熟练进行大小比较，灵活运用公式计算是解题的关键． 3．（24-25八年级上·上海嘉定·阶段练习）已知实数a，b，c满足，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，非负数的性质，先把代入中得到，再由非负数的性质求出，进而求出，据此可得答案． 【详解】解；∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 4．（24-25八年级上·上海奉贤·阶段练习）已知，，求下列代数式的值． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是求解代数式的值，二次根式的混合运算； （1）先求解，，再把原式化为，再代入计算即可； （2）把原式化为，再代入计算即可； 【详解】（1）解：∵，， ∴， ， ． （2）解：由（1）得，， ． 5．（24-25八年级上·上海宝山·期末）阅读下列材料，然后回答问题． 学习数学，最重要的是学习数学思想，其心一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比如我们熟悉的下面这个题：已知，求我们可以把和看成是一个整体，令，则这样，我们不用求出a，b，就可以得到最后的结果． (1)计算： (2)m是正整数，，，且，求m． (3)已知，求的值． 【答案】(1)26 (2)； (3)． 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，分母有理化，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）先把每一个二次根式进行分母有理化，然后再进行计算即可解答； （2）先利用分母有理化化简，从而求出，，然后根据已知可得，再利用完全平方公式进行计算即可解答； （3）利用完全平方公式，进行计算即可解答． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵，， ∴， ， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∵，， ∴． 【典型例题八 二次根式的应用】 【例1】（24-25八年级上·上海普陀·期末）按一定规律排列的单项式：，第个单项式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的探究规律，通过观察单项式的系数发现第n个单项式的系数为；由，发现第n个单项式的字母次数是，即可求解． 【详解】通过观察单项式的系数发现：第n个单项式的系数为， ∵， ∴第n个单项式的字母次数是， ∴第n个单项式为， 故选：C． 【例2】（2025·上海长宁·模拟预测）如图，大圆的面积为，小圆的面积为，图中三部分的面积分别为，，，其中是，的平均数，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平均数及二次根式的运算．根据平均数的计算方法求解即可． 【详解】解：由题意，得，， 则． 又， ∴， ∴． 故选：A． 【例3】（24-25八年级上·全国·单元测试）三角形的三边长分别为，这个三角形的周长是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式加法的应用，熟练掌握二次根式的运算是解题的关键；由题意易得，然后求解即可． 【详解】解：由题意得：； 故答案为：． 【例4】（2025·上海松江·模拟预测）如图，从一个大正方形中截去面积为和的两个小正方形后剩余部分（阴影部分）的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，根据题意求出阴影部分的面积进而得出答案． 【详解】解：如图所示： 由题意可得：，， 故两个阴影部分面积和为：， 故答案为：． 【例5】（24-25八年级上·上海静安·期中）如图，有一张边长为 的正方形纸板，现将该纸板的四个角剪掉，制作一个有底无盖的长方体盒子，剪掉的四个角是面积相等的小正方形，每个小正方形的边长为 ．求剪掉四个角后，制作长方体盒子的纸板的面积． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式混合运算的应用，准确的计算是解题的关键．利用大正方形的面积减去四个小正方形的面积即可得出答案； 【详解】解：由题意，得 故剪掉四个角后，制作长方体盒子的纸板的面积为 1．（24-25八年级上·上海宝山·阶段练习）图1是一个用铁丝围成的长为，宽为的长方形，若将这根铁丝展开重新首尾相接围成图2所示的正方形，则该正方形的面积是（   ） A．6 B．8 C．7 D．9 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，长方形和正方形的性质，掌握二次根式的运算法则是关键． 先利用长方形的周长公式化简二次根式，求出长方形的周长，再求出正方形边长，进而根据正方形的面积公式，求出正方形面积． 【详解】解：由题意可知，长方形的长为，宽为， ∴长方形的周长为． ∴围成的正方形边长为． ∴正方形面积为． 故选：B． 2．（2025·上海闵行·模拟预测）我国著名的数学家秦九韶在《数书九章》中提出了一种求三角形面积的方法——“三斜求积术”．即可以利用三角形的三条边长来求三角形面积．若设三角形的三条边长分别为，三角形的面积为，则．已知在中，，那么的面积为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查二次根式的应用，熟练掌握二次根式的运算是解题的关键；由题意易得，然后代入题中所给公式即可求解． 【详解】解：由题意得：， ∴； 故选：B． 3．（24-25八年级上·上海杨浦·期中）先观察下列等式，再回答问题： ①； ②； ③； … 请你利用发现的规律，计算： ． 【答案】 【分析】①；②；③，得到，列式计算即可． 本题考查了二次根式中规律探索，实数的计算，熟练掌握规律探索是解题的关键． 【详解】解：①； ②； ③， 故， 故 ， 故答案为：． 4．（24-25八年级上·上海普陀·阶段练习）南宁国际会展中心是中国东盟博览会永久会址，为了宣传南宁国际会展中心的特色与魅力．促进会展经济发展．南宁市某中学课外活动小组制作了精美的会展中心特色卡片，并为卡片制作了包装封皮．其中正方形卡片的边长为，长方形封皮的长、宽之比为，面积为． (1)求长方形封皮的长和宽； (2)活动小组能将卡片不折叠就放入封皮中吗？请通过计算说明理由． 【答案】(1)长方形封皮的长为，宽为 (2)能，计算说明见解析 【分析】本题主要考查了二次根式的实际应用，正确理解题意建立方程求解是解题的关键． （1）设长方形封皮的长为，宽为，再根据长方形面积计算公式建立方程求解即可； （2）比较出长方形封皮的长和宽与正方形卡片的边长的大小关系即可得到结论． 【详解】（1）解：设长方形封皮的长为，宽为， 由题意得，， 解得或（舍去）， ∴， 答：长方形封皮的长为，宽为； （2）解：能，计算如下： ∵， ∴， ∴活动小组能将卡片不折叠就放入封皮中． 5．（24-25八年级上·甘肃兰州·期中）阅读材料: 若两个正数，，则有下面不等式，当时取等号，我们把叫作正数，的算术平均数，把叫作正数，的几何平均数，于是上述不等式可以表述为：两个正数的算术平均数不小于(即大于或等于)它们的几何平均数．它在数学中有广泛的应用，是解决最大(小)值问题的有力工具．不等式可以变形为不等式，当且仅当时取到等号．(，均为正数) 例：已知x>0，求的最小值． 解：由得，当且仅当，即时，有最小值，最小值为．根据上面材料回答下列问题： (1)______；______；(用“”“”“”填空) (2)当，则的最小值为，此时_____； (3)当，则的最小值为______； (4)用篱笆围一个面积为的长方形花园，问这个长方形花园的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短篱笆是多少？ 【答案】(1)， (2)， (3) (4)这个长方形的长、宽为时：所用的篱笆最短，最短的篱笆是 【分析】本题考查了二次根式的性质，理解题意是解题的关键； （1）根据，当且仅当时取到等号．(，均为正数)即可求解． （2）根据例题的方法，，即可求解． （3）将看成整理，即，进而根据，代入即可求解； （4）设这个矩形的长为x米，根据宽=面积÷长，可得宽为米，则所用的篱笆长等于长加宽的和乘以2，根据阅读材料即可求解； 【详解】（1）解：∵，， ∴； ∵ ∴ 故答案为：，． （2）解：∵， ∴ ∴当，即时，有最小值，最小值为 故答案为：，． （3）解：∵ ∴ 设 ∴ 当时，即时，有最小值，最小值为 故答案为：． （4）设这个矩形的长为，所用的篱笆总长为， ∵围一个面积为的长方形花园， ∴宽为， ∴ ∵， ∴， 当且仅当时，即时有最小值，最小值为40． 时，=10， ∴当这个长方形的长、宽为时：所用的篱笆最短，最短的篱笆是． 1．（2024·上海嘉定·模拟预测）若，则（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】A 【分析】把代入计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了求二次根式的值，掌握二次根式的乘方和乘除运算是解题的关键． 2．（24-25八年级上·上海奉贤·期末）若，则表示的值的点落在（   ）    A．区域① B．区域② C．区域③ D．区域④ 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的运算，无理数的估算，实数与数轴，先根据二次根式的加减法则，进行计算，再估算无理数的范围，进而判断出表示的值的点的位置即可． 【详解】解：， ∵， ∴； ∴表示的值的点落在区域③； 故选：C． 3．（24-25八年级上·上海静安·期中）老师设计了一个“接力游戏”，用合作的方式完成二次根式的混合运算，如图，老师把题目交给一位同学，他完成一步解答后交给第二位同学，依次进行，最后完成计算．规则是每人只能看到前一人传过来的式子．接力中，自己负责的式子出现错误的是（   ） A．小明和小丽 B．小丽和小红 C．小红和小亮 D．小丽和小亮 【答案】B 【分析】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的除法运算和性质是解答的关键．根据二次根式的除法法则可和性质逐个判断即可． 【详解】解：∵， ∴小明没有出现错误； ∵， ∴小丽出现错误； ∵， ∴小红出现错误； ∵， ∴小亮没有出现错误， 故自己负责的式子出现错误的是小丽和小红， 故选：B． 4．（24-25八年级上·上海松江·阶段练习）我们知道形如，的数可以化简，其化简的目的主要是把原数分母中的无理数化为有理数．如：，．这样的化简过程叫做分母有理化．我们把叫做的有理化因式，叫做的有理化因式． 利用有理化因式，可以得到如下结论： ①；②设有理数a，b满足，则； ③； ④已知，则； ⑤． 以上结论正确的有（    ） A．①③④ B．①③⑤ C．①②④ D．②③④ 【答案】B 【分析】利用有理化因式进行变形计算后即可判断． 【详解】解：①，故正确； ②， ∴，故错误； ③， ， ∵， ∴，故正确； ④∵，而， ∴，故错误； ⑤ ，故正确； 正确的有①③⑤， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可，再二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 5．（24-25八年级上·上海徐汇·阶段练习）如图，将正方形和正方形放置在较大的正方形中，重叠部分是一个较小的正方形，其面积为1，已知，，则空白部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次根式的应用，先算出三个小正方形的边长，再算出大正方形的边长，最后通过面积的计算求解，即可解题． 【详解】解：正方形和正方形的面积分别为，， 正方形和正方形的边长分别为，， 重叠部分是一个较小的正方形，其面积为1， 重叠部分的正方形边长为1， 大的正方形边长为， 空白部分的面积为， 故选：A． 6．（2025·上海静安·模拟预测）计算的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简，熟练二次根式化简是解题的关键．运用二次根式的性质化简即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 7．（24-25八年级上·上海宝山·期末）已知，，则的值为 ． 【答案】15 【分析】本题考查二次根式化简求值．结合完全平方公式整体代入求值即可求解． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， 故答案为：15． 8．（24-25八年级上·上海虹口·期中）若，则化简 ． 【答案】 【分析】根据二次根式的性质，可得，根据二次根式的性质，可化简二次根式，根据整式的加减，可得答案． 【详解】解：由，得， ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的加减，解题关键是利用二次根式的性质化简二次根式． 9．（24-25八年级上·上海杨浦·期中）比较大小： ； ； . 【答案】 【分析】根据二次根式性质比较大小即可得到结论． 【详解】解：①， ； ②， ； ③， ， ， ，即； 故答案为：；；． 【点睛】本题考查二次根式比较大小，熟练掌握二次根式性质是解决问题的关键． 10．（24-25八年级上·上海嘉定·阶段练习）观察下列各式： ， ， ， 请利用你发现的规律，计算： ，其结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的性质与化简及数字变化的规律，能用含n的等式表示出第n个式子是解题的关键． 观察题中所给式子各部分的变化规律即可解决问题． 【详解】解： = = = =． 故答案为：． 11．（24-25八年级上·上海青浦·课后作业）计算： (1)： (2)： (3)： (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，解题关键是牢记运算法则． （1）先化简，再合并同类二次根式即可； （2）先化简，再去括号，合并同类二次根式即可； （3）先化简各项，再合并同类二次根式即可； （4）先化简各项与去括号，再合并同类二次根式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 12．（24-25八年级上·上海长宁·课后作业）已知，，比较与的大小． 【答案】 【分析】将、分别平方后，比较即可得． 【详解】解：、， 因为大于， 所以． 【点睛】本题主要考查实数的大小比较，解题的关键是熟练掌握实数的大小比较的方法和二次根式的运算法则． 13．（24-25八年级上·上海嘉定·期末）若，，求下列各式的值． (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值． （1）直接代入求解即可； （2）求得和的值，再代入计算即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：∵，， ∴；， ∴． 14．（24-25八年级上·上海奉贤·期中）小芳在解决问题：“已知，求的值”时，她是这样分析与解的： ， 请你根据小芳的分析过程，解决如下问题： (1)求的值； (2)若， ①求的值； ②直接写出代数式的值：________． 【答案】(1)10 (2)①5② 【分析】（1）原式各项分母有理化，计算即可求出值； （2）①先把a分母有理化可得到，从而得到，再把式子进行整理，将代入计算即可求出值； ②将式子整理成，再代入，即可求解． 本题考查了分母有理化，二次根式的化简求值，正确读懂例题，对二次根式进行化简是关键． 【详解】（1）解： ； （2）解：①∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②∵， ∴ ． 故答案为： 15．（24-25八年级上·上海杨浦·期中）现有两块同样大小的矩形纸片，嘉嘉采用如图1所示的方式，在矩形纸片上裁出两块面积分别为和的正方形纸片A，B． (1)裁出的正方形纸片A的边长为________； (2)求图1中阴影部分的面积； (3)琪琪想采用如图2所示的方式在矩形纸片上裁出两块边长都是的正方形纸片，请你判断能否裁出，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)能，理由见解析 【分析】本题考查了二次根式的混合运算的实际应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据正方形面积等于边长的平方，结合面积为，即可计算正方形纸片A的边长； （2）阴影部分的长为正方形A的边长，宽为正方形B的边长减去正方形A的边长，再由面积公式求解即可； （3）比较长方形的边长与两个边长的正方形的边长和即可． 【详解】（1）解：∵正方形纸片A的面积为， ∴边长为：， 故答案为：； （2）解：由题意得，方形纸片B的边长为， ∴图1中阴影部分的面积为； （3）解：能，理由如下： ∵，，而，， ∴能裁出． 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