第06讲 数论专题+口奥3-【暑假自学课】2023年新六年级数学暑假精品课（沪教版，上海专用）

第06讲 数论专题+口奥3 掌握数论七大知识点基础概念 灵活运用数论知识答题 掌握口奥知识及完成训练 模块一：数论 一：知识点梳理 1、 整数与整除 1、整数的意义和分类 自然数：零和正整数统称为自然数； 整数：正整数、零、负整数，统称为整数。 ( 正整 数 ) ( 自然数 ) ( 零 ) ( 负整数 )整数 2、整除 （1）整数除以整数b，如果除得的商是整数而余数为零，我们就说能被b整除；或者说b能整除。 （2）整除的条件（两个必须同时满足）： ① 除数、被除数都是整数； ② 被除数除以除数，商是整数而且余数为零。 3、除尽与整除的异同点 相同点：除尽与整除，都没有余数，即余数都为0；除尽中包含整除 不同点：整除中被除数、除数和商都为整数，余数为零； 除尽中被除数、除数和商不一定为整数，余数为零。 2、 因数和倍数 1、因数和倍数 整数能被整数b整除，就叫做b的倍数，b就叫做的因数（也称为约数）。 注意：（1）在整除的条件下，才有因数和倍数的概念。倍数和因数是相互依存的，不能单独存在。 2、求一个数的因数的方法 （1）列乘法算式：根据因数的意义，有序地写出某数的所有两个数乘积的乘法算式，乘法算式中的因数就是该数的因数。 （2）列除法算式：用此数除以任意整数，所得商是整数而无余数，这些除数和商就是该数的因数。 3、求一个数的倍数的方法 求一个数的倍数，就是用这个数，依次与非零自然数相乘，所得之数就是这个数的倍数。 4、因数和倍数的性质（规律总结） 1是任何一个整数的因数，任何整数都是1的倍数； 0是任何一个不等于0的整数的倍数，任何一个不等于0的整数都是0的因数； 一个正整数既是它本身的最大因数，也是它本身的最小倍数。 3、素数、合数与分解素因数 1、素数与合数 一个数除了1和它本身，不再有别的因数，这个数叫做素数（也叫做质数）。 一个数除了1和它本身，还有别的因数，这个数叫做合数。 要特别记住：0和1不是素数，也不是合数。 常用的100以内的素数：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97，共计25个；除了2其余的素数都是奇数；除了2和5，其余的素数个位数字只能是1，3，7或9。 考点：（1）值得注意的是很多题都会以素数2的特殊性为考点； （2）除了2和5，其余素数个位数字只能是1，3，7或9。这也是很多题解题思路，需要大家注意。 2、素因数与分解素因数 素因数：如果一个素数是某个数的因数，那么就说这个素数是这个数的素因数。 互素：公因数只有1的两个自然数，叫做互素。 分解素因数：把一个合数用素因数相乘的形式表示出来，叫做分解素因数。 例如：部分特殊数的分解 ；；；；；；；； 3、判断一个数是否为素数的方法 根据定义如果能够找到一个小于p的素数q（均为整数），使得q能够整除p，那么p就不是素数，所以我们只要拿所有小于p的素数去除p就可以了。 例如：，13<17，所以233是素数 4、最大公因数与最小公倍数 1、最大公因数的概念及求法 几个整数公有的因数，叫做这几个整数的公因数，其中最大的一个叫做这几个整数的最大公因数。 求几个整数的最大公因数，只要将它们所有的公有的素因数连乘，所得的积就是它们的最大公因数（分解素因数法）；另一种方法是短除法（除到两个商互素为止）。 两个整数中，如果某个数是另一个数的因数，那么这个数就是这两个数的最大公因数。如果这两个数互素，则它们的最大公因数为1。 2、最小公倍数的概念及求法 几个整数的公有的倍数叫做它们的公倍数，其中最小的一个叫做这几个整数的最小公倍数。 求两个整数的最小公倍数，只要取它们所有公倍的素因数，再取它们各自剩余的素因数，将这些数连乘，所得的积就是这两个数的最小公倍数（分解素因数法）；另一个方法是短除法（除到两个商互素为止）。 如果两个整数中某一个数是另一个数的倍数，那么这个数就是它们的最小公倍数。如果这两个数互素，那么它们的乘积就是它们的最小公倍数。 5、完全平方数 1、完全平方数的定义 若一个数能表示成某个整数的平方的形式，则称这个数为完全平方数。完全平方数是非负数。 例如：0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256,289,324,361,400,441,484,… 2、完全平方数的性质 性质1：完全平方数的末位数只能是0,1,4,5,6,9。 性质2：奇数的平方的个位数字为奇数，十位数字为偶数。 性质3：如果完全平方数的十位数字是奇数，则它的个位数字一定是6；反之，如果完全平方数的个位数字是6，则它的十位数字一定是奇数。 性质4：偶数的平方是4的倍数；奇数的平方是4的倍