第06讲 正方形的判定（4种题型）-【暑假预习】2023年新九年级数学核心知识点与常见题型通关讲解练（北师大版）

第06讲 正方形的判定（4种题型） 【知识梳理】 一．正方形的判定 正方形的判定方法： ①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等； ②先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角为直角． ③还可以先判定四边形是平行四边形，再用1或2进行判定． 二．正方形的判定与性质 （1）正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质． （2）正方形的判定 正方形的判定没有固定的方法，只要判定既是矩形又是菱形就可以判定． 【考点剖析】 题型一：正方形判定定理的理解 例1．（2023·湖北襄阳·统考模拟预测）满足下列条件的四边形是正方形的是（    ） A．对角线互相垂直且相等的平行四边形 B．对角线互相垂直的菱形 C．对角线相等的矩形 D．对角线互相垂直平分的四边形 【变式】（2023·江苏无锡·江苏省天一中学校考三模）如图，在矩形中，对角线与相交O，添加下列条件不能判定矩形是正方形的是（    ） A． B． C． D． 题型二：添加一个条件使四边形是正方形 例2．（2023·陕西西安·西安市铁一中学校考模拟预测）如图，D是内一点，，E、F、G、H分别是的中点，添加下列哪个条件，能使得四边形成为正方形（）    A． B． C． D． 【变式】．（2023秋·河南郑州·九年级校考期末）数学活动课上，何老师布置了一道题目：如图，你能用一张锐角三角形纸片折出一个以为内角的菱形吗？石雨的折法如下： 第一步，折出的平分线，交于点D， 第二步，折出的垂直平分线，分别交、于点E、F，把纸片展平， 第三步，折出、，得到四边形， (1)请根据石雨的折法在图中画出对应的图形，并证明四边形是菱形； (2)满足什么条件时，四边形是正方形？请说明理由． 题型三：证明四边形是正方形 例3.如图，等边△AEF的顶点E，F在矩形ABCD的边BC，CD上，且∠CEF＝45°．求证：矩形ABCD是正方形． 【变式1】如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD平分△ACB，DE⊥AC于E，DF⊥BC于F，求证：四边形CEDF是正方形． 【变式2】如图，已知点E，F，G，H分别是正方形ABCD四条边上的点，并且AE＝BF＝CG＝DH．求证：四边形EFGH是正方形． 题型四：根据正方形的判定与性质求线段长 例4.如图所示△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B的平分线交于D点，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F． （1）求证：四边形CEDF为正方形； （2）若AC＝6，BC＝8，求CE的长． 【变式】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，AB＝BC，∠D＝45°，CD的垂直平分线交CD于E，交AD于F，交BC的延长线于G，若AD＝a． （1）求证：四边形ABCF是正方形； （2）求BG的长． 题型五：中点四边形 例5（2023·陕西西安·校考二模）已知四边形为菱形，点E、F、G、H分别、、、边的中点，依次连接E、F、G、H得到四边形，则四边形为（    ） A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形 【变式】（2023·山东临沂·统考一模）四边形的对角线，交点，点，，，分别为边， ，，的中点．有下列四个推断， ①对于任意四边形，四边形可能不是平行四边形； ②若，则四边形一定是菱形； ③若，则四边形一定是矩形； ④若四边形是菱形，则四边形也是菱形． 所有正确推断的序号是_____________． 【过关检测】 一、单选题 1．（2023·陕西咸阳·统考一模）如图，已知矩形，下列条件能使矩形成为正方形的是（    ） A． B． C． D． 2．（2023春·广东深圳·九年级深圳市福田区石厦学校校考开学考试）下列命题正确的是（    ） A．对角线垂直的四边形是菱形 B．一组对边平行，一组对边相等的四边形是平行四边形 C．顺次连结一个四边形各边中点得到的是一个正方形，那么原四边形一定是正方形 D．对角线互相垂直的四边形面积等于对角线乘积的一半 3．（2023·上海崇明·统考二模）下列命题是真命题的是（    ） A．四边都相等的四边形是正方形 B．一组邻边相等的矩形是正方形 C．对角线互相垂直平分的四边形是正方形 D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 4．（2023·湖北襄阳·统考模拟预测）七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，如图，在正方形纸板中，为对角线，，分别为，的中点，分别交，于，两点，，分别为，的中点，连接，，沿图中实线剪开即可得到一副七巧板，则在剪开之前，关于该图形的下列说法：①图中的三角形都是等腰直角三角形；②图中的四边形是菱形；③四边形的面积占正方形面积的．正确的有（ ）    A．①③ B．①② C．只有① D．②③ 二、填空题 5．（2023·天津河东·统考二模）如图，已知四边形和四边形均为正方形，且是的中点