第02讲 空间向量的数量积运算（4种类型）-【暑假预习】2023年新高二数学核心知识点与常见题型通关讲解练（人教A版2019选择性必修第一册）

第02讲 空间向量的数量积运算（4种类型） 【知识梳理】 一、空间向量的数量积 1．两个向量的数量积． 已知两个非零向量a、b，则|a|·|b|cos〈a，b〉叫做向量a与b的数量积，记作a·b，即a·b=|a|·|b|cos〈a，b〉． 要点诠释： （1）由于空间任意两个向量都可以转化为共面向量，所以空间两个向量的夹角的定义和取值范围、两 个向量垂直的定义和表示符号及向量的模的概念和表示符号等，都与平面向量相同． （2）两向量的数量积，其结果是数而非向量，它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦的乘积，其符 号由夹角的余弦值决定． （3）两个向量的数量积是两向量的点乘，与以前学过的向量之间的乘法是有区别的，在书写时一定要 将它们区别开来，不可混淆． 2.空间向量数量积的性质 设是非零向量，是单位向量，则 ①； ②； ③或； ④； ⑤ 3．空间向量的数量积满足如下运算律： （1）（a）·b=（a·b）； （2）a·b=b·a（交换律）； （3）a·（b+c）=a·b+a·c（分配律）． 要点诠释： （1） 对于三个不为0的实数a、b、c，若a·b=a·c，则b=c；对于三个不为0的向量，若 不能得出，即向量不能约分． （2） 若a·b=k，不能得出（或），就是说，向量不能进行除法运算． （3） 对于三个不为0的实数，a、b、c有（ab）c=a（bc），对于三个不为0的向量a、b、c，有，向量的数量积不满足结合律． 二、 空间两个向量的夹角． 1. 定义：已知两个非零向量a、b，在空间任取一点D，作，，则∠AOB叫做向量a与 b 的夹角，记作〈a，b〉，如下图。 根据空间两个向量数量积的定义：a·b=|a|·|b|·cos〈a，b〉， 那么空间两个向量a、b的夹角的余弦。 要点诠释： 1. 规定： 2. 特别地，如果，那么与同向；如果，那么与反向；如果，那么与垂直，记作。 2. 利用空间向量求异面直线所成的角 异面直线所成的角可以通过选取直线的方向向量，计算两个方向向量的夹角得到。 在求异面直线所成的角时，应注意异面直线所成的角与向量夹角的区别：如果两向量夹角为锐角或直角，则异面直线所成的角等于两向量的夹角；如果两向的夹角为钝角，则异面直线所成的角为两向量的夹角的补角。 三、空间向量的长度。 1. 定义： 在空间两个向量的数量积中，特别地a·a=|a|·|a|cos0°=|a|2，所以向量a的模： 。 将其推广：； 。 2.利用向量求线段的长度。 将所求线段用向量表示，转化为求向量的模的问题。一般可以先选好基底，用基向量表示所求向量，然后利用|a|2=a2来求解。 四、空间向量的垂直。 若，则称a与b互相垂直，并记作a⊥b． 根据数量积的定义：⊥⇔·＝0 要点诠释： ⊥⇔·＝0是数形结合的纽带之一，通常可以与向量的运算法则、有关运算律联系来解决垂直的论证问题． 【考点剖析】 类型一：空间向量的数量积 例1．（2023春·高二课时练习）已知向量，．求． 例2．（2023春·江苏盐城·高二盐城市大丰区南阳中学校考阶段练习）已知向量，向量与的夹角都是，且，试求 (1)； (2)． 【变式】.（2022·全国·高二假期作业）如图所示，在棱长为2的正四面体ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，求： (1)·； (2)·； (3)·. 【变式2】（2023春·高二课时练习）如图所示，已知正四面体OABC的棱长为1，点E，F分别是OA，OC的中点．求下列向量的数量积： (1) (2) (3) 类型二：利用空间向量的数量积求两向量的夹角 例4． 在棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中，求：异面直线BA1与AC所成的角. 例5．（2023春·高二课时练习）如图，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，求向量分别与向量，，，，的夹角． 【变式】 如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E为D1C1的中点，试求A1C1与DE所成角的余弦值. 类型三：利用空间向量的数量积求线段的长度。 例6．（2023春·高二课时练习）如图所示，在120°的二面角中，AC⊂α，BD⊂β且AC⊥AB，BD⊥AB，垂足分别为A，B，已知AC＝AB＝BD＝6，试求线段CD的长．    【变式】（2023·高二单元测试）如图，在平行六面体中，，且， (1)试用表示向量. (2)若，，，求的长. 例7. 如图所示，在四面体ABCD中，，BC=2，AC=3，AD=4，，AD⊥BC．求B、D间的距离． 【变式】在直二面角的棱上有两点A、B，AC和BD各在这个二面角的一个面内，并且都垂直于棱AB，设AB=8cm，AC=6cm，BD=24cm，求CD的长。 类型四：