第1章 第2节 常用逻辑用语（word教参）-【正禾一本通】2024高考数学高三一轮总复习高效讲义（通用版，新教材新高考）

第2节 常用逻辑用语 ► 对应学生用书P004 [课标解读]　1.理解必要条件、充分条件与充要条件的意义．　2.通过已知的数学实例，理解全称量词与存在量词的意义．　3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定． 　备考第1步——梳理教材基础，落实必备知识 1．充分条件与必要条件 (1)如果p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件； (2)如果p⇒q，q⇒p，则p是q的充要条件，也可以说p⇔q. 2．全称量词和存在量词 量词名称 常见量词 表示符号 全称量词 “所有的”“任意一个”“一切”“每一个”“任给” ∀ 存在量词 “存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“对某些”“有的”　 ∃ 3.全称量词命题和存在量词命题 命题名称 定义 命题结构 命题简记 全称量 词命题 含有全称量词的 命题 对M中任意一个x，p(x)成立 ∀x∈M，p(x) 存在量 词命题 含有存在量词的 命题 存在M中的元素x，p(x)成立 ∃x∈M，p(x) 4.全称量词命题与存在量词命题的否定 命题 命题的否定 ∀x∈M，p(x) ∃x∈M，¬p(x) ∃x∈M，p(x) ∀x∈M，¬p(x) [必记结论] 1．充分、必要条件与集合的子集之间的关系 设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}． (1)若A⊆B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件． (2)若A⫋B，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件． (3)若A＝B，则p是q的充要条件． 2．p是q的充分不必要条件，等价于¬q是¬p的充分不必要条件． 【小题热身】 1．思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)已知集合A，B，则A∪B＝A∩B的充要条件是A＝B.(　　) (2)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件．(　　) (3)“至少有一个三角形的内角和为π”是全称量词命题．(　　) (4)“全等三角形的面积相等”是存在量词命题．(　　) 答案：(1)√　(2)√　(3)×　(4)× 2．(多选)下列命题是真命题的有(　　) A．∃x∈R，log2x＝0 B．∃x∈R，cos x＝1 C．∀x∈R，x2>0 D．∀x∈R，2x>0 解析：选ABD．因为log21＝0，cos 0＝1，所以选项A、B均为真命题；02＝0，选项C为假命题；2x>0，选项D为真命题． 3．(2022·浙江高考)设x∈R，则“sin x＝1”是“cos x＝0”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选A．若sin x＝1, 则x＝＋2kπ，k∈Z，此时cos x＝0，故充分性成立；反之，若cos x＝0，则x＝＋kπ，k∈Z，当x＝＋2mπ，m∈Z时，sin x＝－1，故必要性不成立．综上，“sin x＝1”是“cos x＝0”的充分不必要条件，故选A． 4．(必修一·P29例3改编)命题“∀x∈R，x2＋x≥0”的否定是____________. 答案：∃x0∈R，x＋x0<0 5．(2023·辽宁大连模拟)已知命题“∃x∈R，x2－2ax＋3a≤0”是假命题，则实数a的取值范围是________. 解析：由题意知“∀x∈R，x2－2ax＋3a>0”为真命题，所以Δ＝4a2－12a<0，解得0＜a＜3. 答案： 　备考第2步——突破核心考点，提升关键能力 考点1　充分、必要条件的判定 【典例引领】 [例1] (1)(2022·北京高考)设{an}是公差不为0的无穷等差数列，则“{an}为递增数列”是“存在正整数N0，当n>N0时，an>0”的(　　) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选C．由题意知数列{an}的公差d≠0. 充分性：若{an}为递增数列，则d>0，故{an}从某项开始均为正数； 必要性：存在正整数N0，当n>N0时，an>0，若d<0，则从某项开始an<0，矛盾，故d>0，{an}为递增数列．故选C． (2) “m∈(0，)”是“函数f(x)＝是定义在R上的减函数”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选B．若函数f(x)是定义在R上的减函数，则有 得即≤m<， 因为[，)⫋(0，)所以“m∈(0，)”是“函数f(x)＝是定义在R上的减函数”的必要不充分条件，故选B． 【思维升华】　充分条件与必要条件的判断方法 (1)定义法 ①分清条件与结论(p与q) ②找推式：判断“若p，则q”及“若q，则p”的真假 ③下结论：根据p⇒q且pq，pq且p⇐q，p⇒q且p⇐q，pq且pq得到相应的结论 (2)集合法 当所要判断的命题与方程的根、不等式的解