专题03 一元二次方程与二次函数的图象、性质-2023年暑假初三升高一数学衔接知识自学讲义（人教A版2019）

专题03 一元二次方程与二次函数的图象、性质 【知识点梳理】 知识点1：根的判别式 我们知道，对于一元二次方程（），用配方法可以将其变形为 ．① 因为，所以，．于是 （1）当时，方程①的右端是一个正数，因此，原方程有两个不相等的实数根 ； （2）当时，方程①的右端为零，因此，原方程有两个等的实数根 ； （3）当时，方程①的右端是一个负数，而方程①的左边一定大于或等于零，因此，原方程没有实数根． 由此可知，一元二次方程（）的根的情况可以由来判定，我们把叫做一元二次方程（）的根的判别式，通常用符号“Δ”来表示． 综上所述，对于一元二次方程（），有 (1)当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根 ； （2）当Δ=0时，方程有两个相等的实数根 ； （3）当Δ<0时，方程没有实数根． 知识点2：根与系数的关系（韦达定理） 若一元二次方程（）有两个实数根 ，， 则有 ； ． 所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系： 如果（）的两根分别是，，那么，．这一关系也被称为韦达定理． 特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程，若，是其两根，由韦达定理可知 ，， 即，， 所以，方程可化为，由于，是一元二次方程的两根，所以，，也是一元二次方程． 知识点3：二次函数图像的伸缩变换 问题 函数与的图象之间存在怎样的关系？ 为了研究这一问题，我们可以先画出，，的图象，通过这些函数图象与函数的图象之间的关系，推导出函数与的图象之间所存在的关系． 先画出函数，的图象． 先列表： x … －3 －2 －1 0 1 2 3 … x2 … 9 4 1 0 1 4 9 … 2x2 … 18 8 2 0 2 8 18 从表中不难看出，要得到2x2的值，只要把相应的x2的值扩大两倍就可以了． 再描点、连线，就分别得到了函数，的图象（如图2－1所示），从图2－1我们可以得到这两个函数图象之间的关系：函数的图象可以由函数的图象各点的纵坐标变为原来的两倍得到． 同学们也可以用类似于上面的方法画出函数，的图象，并研究这两个函数图象与函数的图象之间的关系． 通过上面的研究，我们可以得到以下结论： 二次函数y=ax2(a≠0)的图象可以由y=x2的图象各点的纵坐标变为原来的a倍得到．在二次函数y=ax2(a≠0) 知识点4：二次函数图像的平移变换 函数y=a(x+h)2+k与y=ax2的图象之间存在怎样的关系？ 同样地，我们可以利用几个特殊的函数图象之间的关系来研究它们之间的关系．同学们可以作出函数y=2(x+1)2+1与y=2x2的图象（如图2－2所示），从函数的同学我们不难发现，只要把函数y=2x2的图象向左平移一个单位，再向上平移一个单位，就可以得到函数y=2(x+1)2+1的图象．这两个函数图象之间具有“形状相同，位置不同”的特点． 类似地，还可以通过画函数y=－3x2，y=－3(x－1)2+1的图象，研究它们图象之间的相互关系． 通过上面的研究，我们可以得到以下结论： 二次函数y=a(x+h)2+k(a≠0)中，a决定了二次函数图象的开口大小及方向；h决定了二次函数图象的左右平移，而且“h正左移，h负右移”；k决定了二次函数图象的上下平移，而且“k正上移，k负下移”． 由上面的结论，我们可以得到研究二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的方法： 由于y=ax2+bx+c=a(x2+)+c=a(x2++)+c－ ， 所以，y=ax2+bx+c(a≠0)的图象可以看作是将函数y=ax2的图象作左右平移、上下平移得到的，于是，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)具有下列性质： （1）当a>0时，函数y=ax2+bx+c图象开口向上；顶点坐标为，对称轴为直线x=－；当x<时，y随着x的增大而减小；当x>时，y随着x的增大而增大；当x=时，函数取最小值y=． （2）当a<0时，函数y=ax2+bx+c图象开口向下；顶点坐标为，对称轴为直线x=－；当x<时，y随着x的增大而增大；当x>时，y随着x的增大而减小；当x=时，函数取最大值y=． 【题型归纳目录】 题型一：根的判别式 题型二：根与系数的关系（韦达定理） 题型三：二次函数图像的伸缩变换 题型四：二次函数图像的平移变换 【典例例题】 题型一：根的判别式 例1．（2023·陕西榆林·九年级绥德中学校考期末）已知关于x的一元二次方程，若该方程有两个相等实数根，求m的值． 例2．（2023·天津和平·九年级天津市双菱中学校考开学考试）解下列方程 (1)； (2)． (3)求证：无论m取何值时，方程总有两个不相等的实数根． 例3．（2023·北京顺义·统考二模）已知关于的方程． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若为正整数，且方程有一个根为负数，求的