专题02 分解因式-2023年暑假初三升高一数学衔接知识自学讲义（人教A版2019）

专题02分解因式 【知识点梳理】 知识点1：十字相乘法 要点一、十字相乘法 利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法.对于二次三项式，若存在 ，则. 要点诠释：（1）在对分解因式时，要先从常数项的正、负入手，若， 则、同号(若，则、异号)，然后依据一次项系数的正负再确定、的符号； （2）若中的为整数时，要先将分解成两个整数的积(要考虑到分解的各种可能)，然后看这两个整数之和能否等于，直到凑对为止. 要点二、首项系数不为1的十字相乘法 在二次三项式(≠0)中，如果二次项系数可以分解成两个因数之积，即 ，常数项可以分解成两个因数之积，即，把排列如下： 按斜线交叉相乘，再相加，得到，若它正好等于二次三项式的一次项系数，即，那么二次三项式就可以分解为两个因式与之积，即. 要点诠释：（1）分解思路为“看两端，凑中间” （2）二次项系数一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号 里面的二次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上. 知识点2：提取公因式法与分组分解法 1、提取公因式法：如果多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提到括号外面，把多项式转化成公因式与另一个多项式的积的形，这种因式分解的方法叫做提公因式法。 2、符号语言： 3、提公因式的步骤： （1）确定公因式 （2）提出公因式并确定另一个因式（依据多项式除以单项式） 4、注意事项：因式分解一定要彻底 知识点3：关于x的二次三项式ax2+bx+c(a≠0)的因式分解 若关于x的方程的两个实数根是、，则二次三项式就可分解为. 【题型归纳目录】 题型一：十字相乘法 题型二：提取公因式法与分组分解法 题型三：关于x的二次三项式的因式分解 【典例例题】 题型一：十字相乘法 例1．（2023·安徽滁州·八年级校考阶段练习）由多项式乘法：，将该式从右到左使用，即可得到“十字相乘法”进行因式分解的公式：． 示例：分解因式：． (1)尝试：分解因式：__________________； (2)应用：请用上述方法解方程：． 例2．（2023·浙江·七年级专题练习）阅读材料：根据多项式乘多项式法则，我们很容易计算： ；． 而因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得： ；． 通过这样的关系我们可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式．如将式子分解因式．这个式子的二次项系数是，常数项，一次项系数，可以用下图十字相乘的形式表示为： 先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求和，使其等于一次项系数，然后横向书写．这样，我们就可以得到：． 利用这种方法，将下列多项式分解因式： (1)　 　； (2)　 　； (3)　 　； (4)　 　． 例3．（2023·江苏·七年级期中）阅读理解完成任务：教材第121页阅读与思考中有一种因式分解的方法叫十字相乘法，书中描述分解因式的过程如下：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数（如分解图），这样，我们就可以得到： 某同学看完教材没完全懂，问老师后就懂了，老师讲解如下：利用十字相乘法分解，首先分解二次项系数6，可分解为或或或，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项－3，可分解为或，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，这样就会出现16种情况（如下分解图），求代数和等于一次项系数7，符合分解的分解图有2种情况（就是方框框起的两种情况）．所以得到：或． 十字相乘法公式：（其中，a，b，c，d为常数） 阅读以上材料，完成以下任务：请用十字相乘法分解下列多项式，要求写出一种符合分解的分解图． (1) (2) 变式1．（2023·全国·八年级期末）仔细阅读下面例愿，并解答问思：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值．参考答案 设另一个因式为，得，则，解得：．另一个因式为． (1)若二次三项式可分解为，则 ； (2)若二次三项式可分解为，则 ； (3)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值． 变式2．（2023·湖南邵阳·七年级统考期中）阅读理解题： 由多项式乘法： ，将该式从右到左使用，即可得到因式 分解的公式：． 示例：分解因式： 分解因式：多项式的特征是二次项系数为 1，常数项为两数之积，一次项系数为这两数之和． (1)尝试：分解因式： (2)应用：请用上述方法将多项式进行因式分解． 变式3．（2023·八年级课时练习）阅读下列材料：将一个形如的二次三项式因式分解时，如果