专题01 数与式的运算-2023年暑假初三升高一数学衔接知识自学讲义（人教A版2019）

专题01 数与式的运算 【知识点梳理】 知识点1：绝对值 绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即： 绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离． 两个数的差的绝对值的几何意义：表示在数轴上，数和数之间的距离． 知识点2：乘法公式 我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式： （1）平方差公式； （2）完全平方公式． 我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式： （1）立方和公式； （2）立方差公式； （3）三数和平方公式； （4）两数和立方公式； （5）两数差立方公式． 知识点3：二次根式 一般地，形如的代数式叫做二次根式．根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为无理式.例如，等是无理式，而，，等是有理式． （1）分母（子）有理化 把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化．为了进行分母（子）有理化，需要引入 有理化因式的概念．两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如与，与，与，与，等等．一般地，与，与，与互为有理化因式． 分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程 在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进行，运算中要运用公式；而对于二次根式的除法，通常先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算；二次根式的加减法与多项式的加减法类似，应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式． （2）二次根式的意义 知识点4：分式 （1）分式的意义 形如的式子，若B中含有字母，且，则称为分式．当M≠0时，分式具有下列性质： ； ． 上述性质被称为分式的基本性质． （2）繁分式 像，这样，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式． 【题型归纳目录】 题型一：绝对值 题型二：乘法公式 题型三：二次根式 题型四：分式 【典例例题】 题型一：绝对值 例1．（2023·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市中实学校校考期中）如果，那么_______ 例2．（2023·福建龙岩·八年级统考期中）若，则___________． 例3．（2023·上海静安·六年级上海市回民中学校考期中）比较大小：___________． 变式1．（2023·天津东丽·八年级校联考期中）已知实数、满足，则的值为______ ． 变式2．（2023·四川南充·七年级四川省南充高级中学校考阶段练习）已知：实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：_____． 变式3．（2023·黑龙江哈尔滨·六年级哈尔滨市第十七中学校校考期中）已知在数轴上A、B两点分别表示的数是a和b，，，，点Р在数轴上且与点A、点B的距离相等，则点Р表示的数是_________． 题型二：乘法公式 例4．（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考三模）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 例5．（2023·北京海淀·八年级首都师范大学附属中学校考开学考试）多项式A与的乘积含有项，那么A可能是（    ） A． B． C． D． 例6．（2023·北京西城·八年级北京市第一六一中学校考开学考试）下列因式分解结果正确的是（    ） A． B． C． D． 变式4．（2023·江苏泰州·统考二模）、为正整数，，则的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 变式5．（2023·四川内江·威远中学校校考二模）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 变式6．（2023·安徽合肥·统考三模）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 变式7．（2023·山东东营·统考二模）下列运算结果正确的是( ) A． B． C． D． 题型三：二次根式 例7．（2023·湖北武汉·八年级校联考期中）计算： (1)； (2)． 例8．（2023·北京海淀·八年级首都师范大学附属中学校考开学考试）先化简，再求值：，其中． 例9．（2023·北京海淀·八年级首都师范大学附属中学校考开学考试）计算： 变式8．（2023·全国·九年级专题练习）先化简，再求值：，其中 变式9．（2023·北京·八年级统考期中）计算：． 变式10．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第四十七中学校考模拟预测）先化简，再求值，其中 变式11．（2023·福建龙岩·八年级统考期中）一个三角形的三边长分别为，，． (1)求它的周长（用含的式子表示）； (2)请你给一个适当的值，使该三角形的周长为整数，并利用海伦公式求出此三角形的面积．（海伦公式：，其中，，分别是三角形的三边长，记） 题型四：分式 例10．（2023·广东佛山·八年级佛山市惠景中学校考期中）分式与的最简公分母是____