第7章 第2节 空间点、直线、平面之间的位置关系（word教参）-【正禾一本通】2024高考数学高三一轮总复习高效讲义（湘教版，新教材新高考）

第2节 空间点、直线、平面之间的位置关系 ► 对应学生用书P134 [课标解读]　1.借助长方体，在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上，抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义，了解基本事实和定理．　2.能运用基本事实、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题． 　备考第1步——梳理教材基础，落实必备知识 1．基本事实1－3 基本事实1 基本事实2 基本事实3 文字 语言 过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面 如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 图形 语言 符号 语言 A，B，C三点不共线⇒有且只有一个平面α，使A∈α，B∈α，C∈α A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒l⊂α P∈α，且P∈β⇒α∩β＝l，且P∈l 作用 ①确定平面； ②证明点、线共面； ③证明两个平面重合 判断直线是否在平面内 ①判断两个平面是否相交； ②证明点共线和线共点问题 2.基本事实3的三个推论 自然语言 图形语言 推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面 推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面 推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面 3.空间中直线与直线的位置关系 (1)位置关系分类 (2)异面直线的画法：(通常用平面衬托) (3)异面直线所成的角 ①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫作异面直线a与b所成的角(或夹角). ②范围：． 4．基本事实4 自然语言 图形语言 符号语言 作用 平行于同一条直线的两条直线平行 a∥b且b∥c⇒a∥c 判断两条直线 是否平行 5.等角定理 如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． 6．空间中直线与平面的位置关系 位置关系 直线a在平面α内 直线a在平面α外 直线a与平面α相交 直线a与平面α平行 公共点 有无数个公共点 有且只有一个公共点 没有公共点 符号表示 a⊂α a∩α＝A a∥α 图形表示 7.空间中平面与平面的位置关系 位置关系 两个平面平行 两个平面相交 公共点 没有公共点 有无数个公共点(在一条直线上) 符号表示 α∥β α∩β＝l 图形表示 [必记结论] 1．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行． 2．平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线． 3．分别在两个平行平面内的直线平行或异面． 4．过直线外一点有无数个平面与已知直线平行． 5．过平面外一点有无数条直线与已知平面平行． 6．过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行． 【小题热身】 1．思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于过A点的任意一条直线．(　　) (2)两两相交的三条直线最多可以确定三个平面．(　　) (3)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．(　　) (4)若直线a不平行于平面α，且a⊄α，则α内的所有直线与a异面．(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)× 2．(多选)α是一个平面，m，n是两条直线，A是一个点，若m⊄α，n⊂α，且A∈m，A∈α，则m，n的位置关系可能是(　　) A．垂直 B．相交 C．异面 D．平行 解析：选ABC．依题意，m∩α＝A，n⊂α， ∴m与n可能异面、相交(垂直是相交的特例)，一定不平行． 3．(2022·重庆质检)若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是(　　) A．l与l1，l2都不相交 B．l与l1，l2都相交 C．l至多与l1，l2中的一条相交 D．l至少与l1，l2中的一条相交 解析：选D．由于l与直线l1，l2分别共面，故直线l与l1，l2要么都不相交，要么至少与l1，l2中的一条相交．若l∥l1，l∥l2，则l1∥l2，这与l1，l2是异面直线矛盾．故l至少与l1，l2中的一条相交． 4．(必修二·P151例5改编)在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，则异面直线AE与CD所成角的正切值为(　　) A． B． C． D． 解析：选C．如图，连接BE，因为AB∥CD， 所以异面直线AE与CD所成的角等于相交直线AE与AB所成的角，即为∠EAB．不妨设正方体的棱长为2，则CE＝1，BC＝2，由勾股定理得BE＝.又由AB⊥平面BCC1B1可得AB⊥BE，所以tan ∠EAB＝＝