第7章 创新拓展系列(十一) 确定几何体外接球与内切球球心(半径)的方法（word教参）-【正禾一本通】2024高考数学高三一轮总复习高效讲义（湘教版，新教材新高考）

创新拓展系列(十一)·确定几何体外接球与内切球球心(半径)的方法 空间几何体外接球、内切球问题的处理关键是确定球心及半径，常见的求解方法有如下几种： (1)涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题求解． (2)若球面上四点P、A、B、C构成的三条线段PA，PB，PC两两垂直，PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，根据4R2＝a2＋b2＋c2求解． (3)利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解． 题型一　由长方体的体对角线确定外接球半径 [例1] 已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是(　　) A．16π B．20π C．24π D．32π 解析：选C．设正四棱柱的底面边长为a，高为h，球半径为R，则正四棱柱的体积为V＝a2h＝16，a＝2，4R2＝a2＋a2＋h2＝4＋4＋16＝24，所以球的表面积为S＝24π. 【思维升华】　若长方体的共顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝. 题型二　由长方体的面对角线确定外接球半径 [例2] 三棱锥S­ABC中，SA＝BC＝，SB＝AC＝，SC＝AB＝，则三棱锥的外接球的表面积为________. 解析：如图，在长方体中，设AE＝a，BE＝b，CE＝c， 则SC＝AB＝＝， SA＝BC＝＝， SB＝AC＝＝. 从而a2＋b2＋c2＝14＝(2R)2，可得S＝4πR2＝14π.故所求三棱锥的外接球的表面积为14π. 答案：14π 【思维升华】　三棱锥的相对棱相等，探寻球心无从着手，注意到长方体的相对面的面对角线相等，可在长方体中构造三棱锥，从而巧妙探索外接球半径． 题型三　补形为长方体 [例3] 在三棱锥A­BCD中，若AD⊥平面BCD，AB⊥BC，AD＝BD＝2，CD＝4，点A，B，C，D在同一个球面上，则该球的表面积为________. 解析：根据题意得BC⊥平面ABD，则BC⊥BD，即AD，BC，BD三条线两两垂直，所以可将三棱锥A­BCD放置于长方体内，如图所示． 该三棱锥的外接球即为长方体的外接球，球心为长方体体对角线的中点，即外接球的半径为体对角线长的一半． 此时AC为该球的直径，所以该球的表面积S＝4πR2＝π·AC2＝π·(22＋42)＝20π. 答案：20π 【思维升华】　若几何体存在三条两两垂直的线段或者三条线有两个垂直，可构造长方体的墙角模型，直接用公式(2R)2＝a2＋b2＋c2求出R. 题型四　补形为直棱柱 [例4] 在三棱锥A­BCD中，若AB⊥平面BCD，AB＝2，BC＝CD＝BD＝，点A，B，C，D在同一个球面上，则该球的表面积为________. 解析：由题意得底面BCD为等边三角形，又AB⊥平面BCD，所以可将三棱锥A­BCD放置于直棱柱的一角，如图所示， 该三棱锥的外接球即为直三棱柱的外接球，球心为直三棱柱上下底面外接圆圆心连线的中点． 设直三棱柱上下底面外接圆的圆心分别为O1，O2，连接O1O2，取O1O2的中点为O，连接OB，O2B，则O为外接球的球心，OB为外接球的半径，O2B为△BCD外接圆的半径，OO2＝1. 根据等边三角形性质可以得到O2B＝··＝1，则有OB＝＝， 所以外接球的表面积S＝4π·OB2＝8π. 答案：8π 题型五　利用三角形的外心确定球心位置 [例5] 平面四边形ABCD中，AB＝AD＝CD＝1，BD＝，BD⊥CD．将其沿对角线BD折成四面体A′BCD，使平面A′BD⊥平面BCD．若四面体A′BCD的顶点在同一球面上，则该球的体积为(　　) A． π B．3π C． π D．2π 解析：选A．如图，设BD，BC的中点分别为E，F.由点F为底面直角△BCD的外心，知三棱锥A′­BCD的外接球球心必在过点F且与平面BCD垂直的直线l1上．又点E为底面直角△A′BD的外心，知外接球球心必在过点E且与平面A′BD垂直的直线l2上．因而球心为l1与l2的交点．又FE∥CD，CD⊥BD知FE⊥平面A′BD．从而可知球心为点F.又A′B＝A′D＝1，CD＝1知BD＝，球半径R＝FD＝＝ .故V＝ π 3＝ π. [例6] 在四面体ABCD中，AB＝，DA＝DB＝CA＝CB＝1，则四面体ABCD的外接球的表面积为(　　) A．π B．2π C．3π D．4π 解析：选B．取AB的中点O，由AB＝，DA＝DB＝CA＝CB＝1， 所以CA2＋CB2＝AB2，AD2＋BD2＝AB2，可得∠ACB＝∠ADB＝90°， 所以OA＝OB＝OC＝OD＝，即O为外接球的球心，球的