第5章 创新拓展系列(九) 极化恒等式（word教参）-【正禾一本通】2024高考数学高三一轮总复习高效讲义（湘教版，新教材新高考）

创新拓展系列(九)·极化恒等式 1．平面向量的极化恒等式：设a，b是两个平面向量，则有恒等式a·b＝[(a＋b)2－(a－b)2] ． 2．证明过程：如图所示，设＝a，＝b，则＝a＋b，＝a－b， ||2＝(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2， ||2＝(a－b)2＝|a|2－2a·b＋|b|2， 两式相减得a·b＝[(a＋b)2－(a－b)2]，此即极化恒等式． 3．几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线长”与“差对角线长”平方差的. 【典例】　(多选)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)，F1，F2分别为其左、右焦点，A1、A2分别为其左、右顶点，P为椭圆上的动点，且·＋·≥0恒成立，则椭圆C的离心率可能为(　　) A． B． C． D． [思维点拨]　思路1：设P(x0，y0)，利用数量积的坐标运算及点在椭圆上得到关于a2，c2的不等式，即得离心率的范围． 思路2：利用极化恒等式将目标转化为与椭圆上的点到坐标原点距离有关的最值问题，求出离心率的范围． 解析：选AC．法一(数量积的坐标运算)　设P(x0，y0)，F1(－c，0)，F2(c，0)，易知A1(－a，0)，A2(a，0)，则·＋·＝(－c－x0，－y0)·(c－x0，－y0)＋(－a－x0，－y0)· (a－x0，－y0)＝x－c2＋y＋x－a2＋y＝2x－c2－a2＋2(b2－x)＝x－3c2＋a2≥a2－3c2≥0，所以椭圆C的离心率e＝≤.故选AC． 法二(极化恒等式)　·＋·＝[(＋)2－(－)2]＋[(＋)2－(－)2]＝[(2)2－()2]＋[(2)2－(A2A1)2]＝2()2－c2－a2≥2b2－c2－a2＝2(a2－c2)－c2－a2＝a2－3c2≥0(||min＝b，O为坐标原点)，所以椭圆C的离心率e＝≤. 【思维升华】　在解决向量数量积的相关问题中，利用极化恒等式可以将不方便计算的数量积转化为容易计算的线段长度问题，在实际应用中，可以选择一个线段长度是固定的，这样就相当于将动点问题进行了转化，转化成线段长度问题解决 【创新集训】 已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则·(＋)的最小值是(　　) A．－2 B．－ C．－ D．－1 解析：选B．如图取BC的中点D，取AD的中点E， ·(＋)＝·2， 4·＝(＋)2－(－)2＝(2)2－(2)2＝42－3 所以·(＋)＝·2＝22－， 而||≥0，当且仅当P在直线AD上时等号成立． 所以·(＋)的最小值是－，故选B． [课下巩固检测卷(二十七)] A－基础巩固题组 1．(多选)已知向量a＋b＝(1，1)，a－b＝(－3，1)，c＝(1，1)，设a，b的夹角为θ，则(　　) A．|a|＝|b| B．a⊥c C．b∥c D．θ＝135° 解析：选BD．由a＋b＝(1，1)，a－b＝(－3，1)，得a＝(－1，1)，b＝(2，0)，则|a|＝，|b|＝2，故A不正确； a·c＝－1×1＋1×1＝0，故B正确； 不存在λ∈R，使b＝λc成立，故C不正确； cos θ＝＝＝－，所以θ＝135°，故D正确．综上知选BD． 2．非零向量a，b，c满足a·b＝a·c，a与b的夹角为，|b|＝4，则c在a上的投影向量的长度为(　　) A．2 B．2 C．3 D．4 解析：选B．由a·b＝a·c，可得|a||b|cos 〈a，b〉＝|a||c|cos 〈a，c〉，因为|a|≠0，所以|c|cos 〈a，c〉＝|b|cos 〈a，b〉＝4×cos ＝2，所以c在a上的投影向量的长度为|c||cos 〈a，c〉|＝2. 3．(2023·石家庄模拟)已知向量a＝(2，－2)，b＝(2，1)，b∥c，a·c＝4，则|c|等于(　　) A．2 B．4 C．5 D．4 解析：选A．因为b∥c，所以c＝λb＝(2λ，λ)(λ∈R)，又a·c＝4λ－2λ＝2λ＝4，所以λ＝2，c＝(4，2)，|c|＝＝2. 4．已知＝(2，3)，＝(3，t)，||＝1，则·等于(　　) A．－3 B．－2 C．2 D．3 解析：选C．因为＝－＝(1，t－3)，所以||＝＝1，解得t＝3，所以＝(1，0)，所以·＝2×1＋3×0＝2. 5．(多选)已知a，b是单位向量，且a＋b＝(1，－1)，则(　　) A．|a＋b|＝2 B．a与b垂直 C．a与a－b的夹角为 D．|a－b|＝1 解析：选BC．|a＋b|＝＝，故A错误； 因为a，b是单位向量，所以|a＋b|2＝|a|2＋|b|2＋2a·b＝1＋1＋2a·b＝2，得a·b＝0，a与b垂直，故B正确； |a－b|2＝a2＋b2－2a·b＝2，|a－b|＝，故D错误； cos 〈a，a－b〉＝＝＝，所以a与a－b的夹角为，故C正确． 6．