第4章 第4节 三角函数的图象与性质（word教参）-【正禾一本通】2024高考数学高三一轮总复习高效讲义（湘教版，新教材新高考）

第4节 三角函数的图象与性质 ► 对应学生用书P082 [课标解读]　1.能画出三角函数y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的图象，了解三角函数的周期性、单调性、奇偶性、最大(小)值．　2.借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0，2π]上、正切函数在上的性质． 　备考第1步——梳理教材基础，落实必备知识 1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 (1)在正弦函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，0)，，(π，0)，，(2π，0). (2)在余弦函数y＝cos x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，1)，，(π，－1)，，(2π，1). 2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z) 函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图象 定义域 R R ，且x≠kπ＋ 值域 [－1，1] [－1，1] R 周期性 2π 2π π 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 递增区间 ， [2kπ－π，2kπ] ， 递减区间 ， [2kπ，2kπ＋π] 无 对称中心 (kπ，0) 对称轴方程 x＝kπ＋ x＝kπ 无 [必记结论] (1)函数y＝A sin (ωx＋φ)(x∈R)是奇函数⇔φ＝kπ(k∈Z)； (2)函数y＝A sin (ωx＋φ)(x∈R)是偶函数⇔φ＝kπ＋(k∈Z)； (3)函数y＝A cos (ωx＋φ)(x∈R)是奇函数⇔φ＝kπ＋(k∈Z)； (4)函数y＝A cos (ωx＋φ)(x∈R)是偶函数⇔φ＝kπ(k∈Z). 【小题热身】 1．思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)已知y＝k sin x＋1，x∈R，则y的最大值为k＋1.(　　) (2)将函数y＝sin ωx的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度，得到函数y＝sin (ωx＋φ)的图象．(　　) (3)函数y＝sin x的图象关于点(kπ，0)(k∈Z)中心对称．(　　) (4)正切函数y＝tan x在定义域内是增函数．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 2．函数f(x)＝－2tan 的定义域是(　　) A． B． C． D． 解析：选D．由2x＋≠kπ＋，k∈Z，得x≠＋，k∈Z. 3．(多选)已知函数f(x)＝sin (x－)(x∈R)，下列结论正确的是(　　) A．函数f(x)的最小正周期为2π B．函数f(x)在区间上是增函数 C．函数f(x)的图象关于直线x＝0对称 D．函数f(x)是奇函数 解析：选ABC．sin (x－)＝－cos x，知ABC正确． 4．(2022·北京高考)若函数f(x)＝A sin x－cos x的一个零点为，则A＝________；f()＝________. 解析：f()＝A sin －×cos ＝A－＝0，解得A＝1；所以f()＝sin －cos ＝2(cos sin －sin cos )＝2sin (－)＝2sin (－)＝－. 答案：1　－ 5．(必修一·P177例2改编)函数y＝3－2cos (x＋)的最大值为________，此时x＝____________. 解析：函数y＝3－2cos 的最大值为3＋2＝5，此时x＋＝π＋2kπ(k∈Z)，即x＝＋2kπ(k∈Z). 答案：5　＋2kπ(k∈Z) 　备考第2步——突破核心考点，提升关键能力 考点1　三角函数的定义域和值域 【考点集训】 1．(2023·山东青岛一模)函数y＝2sin －(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为(　　) A．2－ B．0 C．－1 D．－1－ 解析：选A．因为0≤x≤9，所以－≤－≤， 所以－≤sin ≤1，则－≤y≤2. 所以ymax＋ymin＝2－. 2．当x∈时，函数y＝3－sin x－2cos2x的值域为________. 解析：因为x∈，所以sinx∈. 又y＝3－sin x－2cos2x＝3－sinx－2(1－sin2x)＝2(sinx－)2＋， 所以当sin x＝时，ymin＝， 当sin x＝－或sin x＝1时，ymax＝2. 即函数的值域为. 答案： 3．函数y＝sin x－cos x＋sin x cos x的值域为________. 解析：设t＝sin x－cos x，则t2＝sin2x＋cos2x－2sinx cos x，sin x cos x＝，且－≤t≤.∴y＝－＋t＋＝－(t－1)2＋1.当t＝1时，ymax＝1；当t＝－时，ymin＝－－.∴函数的值域为. 答案： 4．函数y＝lg (sin x)＋的定义域为________________. 解析：要使函数有意义，则即 解得 所以2kπ<x≤＋2kπ(k∈Z