第3章 重难突破系列(三) 函数零点问题（word教参）-【正禾一本通】2024高考数学高三一轮总复习高效讲义（湘教版，新教材新高考）

重难突破系列(三)　函数零点问题 ► 对应学生用书P066 函数的零点问题综合了函数、方程、不等式等多方面的知识，考查转化与化归、数形结合及函数与方程等数学思想，函数的零点问题常与其他知识结合综合考查．解题难度较大，因此判断零点存在及零点个数问题是考查的一个热点． 数形结合法研究函数的零点 [例1] 已知函数f(x)＝xex＋ex. (1)求函数f(x)的单调区间和极值； (2)画出函数f(x)的大致图象，并说明理由； (3)求函数g(x)＝f(x)－a(a∈R)的零点的个数． 思路揭秘：本题第(3)问求g(x)零点的个数可转化为方程f(x)－a＝0根的个数，再转化为y＝f(x)与y＝a的交点个数问题，数形结合可求得结论． 规范演示：(1)易知函数f(x)的定义域为R，f′(x)＝(x＋1)ex＋ex＝(x＋2)ex，令f′(x)＝0，解得x＝－2. 2分 所以f′(x)，f(x)的变化情况如表所示： x (－∞，－2) －2 (－2，＋∞) f′(x) － 0 ＋ f(x) 单调递减 － 单调递增 所以f(x)的单调递减区间是(－∞，－2)，单调递增区间是(－2，＋∞). 所以当x＝－2时，f(x)有极小值，极小值为f(－2)＝－，f(x)无极大值． 5分 (2)令f(x)＝0，解得x＝－1， 当x<－1时，f(x)<0；当x>－1时，f(x)>0. 7分 易知f(x)的图象经过特殊点A(－2，－)，B(－1，0)，C(0，1). 当x→－∞时，f(x)＝→0且f(x)<0； 当x→＋∞时，f(x)→＋∞，f′(x)→＋∞. 根据以上信息，画出大致图象，如图所示． 8分 (3)令g(x)＝f(x)－a＝0，得f(x)＝a. 所以函数g(x)＝f(x)－a(a∈R)的零点的个数，即函数y＝f(x)的图象与直线y＝a的交点个数． 9分 易知当x＝－2时，f(x)取得最小值， 最小值为f(－2)＝－. 10分 综上可知，当a<－时，函数g(x)零点的个数为0， 当－<a<0时，函数g(x)零点的个数为2， 当a>0或a＝－时，函数g(x)零点个数为1. 12分 【点拨】　含参数的函数零点个数问题，可转化为方程解的个数问题，若能分离参数，可将参数分离出来后，用x表示参数的函数，作出该函数的图象，根据图象特征求参数的范围． [对点练]1.已知函数f(x)＝x ln x，g(x)＝(－x2＋ax－3)ex(a为实数). (1)当a＝4时，求函数y＝g(x)在x＝1处的切线方程； (2)如果关于x的方程g(x)＝2exf(x)在区间上有两个不等实根，求实数a的取值范围． 解：(1)当a＝4时，g(x)＝(－x2＋4x－3)ex，g′(x)＝ex(－x2＋2x＋1)， ∴g′(1)＝2e，又g(1)＝0， ∴切线的斜率为2e，切点为(1，0)， ∴所求的切线方程为y－0＝2e(x－1)，即y＝2e(x－1). (2)方程g(x)＝2exf(x)可化为－x2＋ax－3＝2x ln x， 即a＝2ln x＋x＋. 令φ(x)＝2ln x＋x＋，x∈， ∴φ′(x)＝＋1－＝＝， ∵当x∈时，φ′(x)<0，当x∈(1，e]时，φ′(x)>0， ∴φ(x)在上单调递减，在(1，e]上单调递增． ∴φ(x)min＝φ(1)＝4， 又φ＝3e＋－2，φ(e)＝＋e＋2，且φ>φ(e)，画出y＝φ(x)的图象如图所示． 则4<a≤＋e＋2， 故实数a的取值范围是. 函数性质法研究函数的零点 [例2] 已知函数f(x)＝ex－ax－1(a∈R). (1)讨论f(x)的单调性； (2)若f(x)在[0，1]上有两个零点，求a的取值范围． 解：(1)函数f(x)的定义域为R，f′(x)＝ex－a. 当a≤0时，f′(x)>0在R上恒成立， ∴f(x)在R上单调递增． 当a>0时，由f′(x)＝0，得x＝ln a， ∴当x∈(－∞，ln a)时，f′(x)<0，f(x)单调递减； 当x∈(ln a，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增． 综上，当a≤0时，f(x)在R上单调递增； 当a>0时，f(x)在(ln a，＋∞)上单调递增，在(－∞，ln a)上单调递减． (2)由(1)知当a≤0时，f(x)在[0，1]上单调递增，至多有一个零点，不符合题意． 当ln a≤0，即0<a≤1时，f(x)在[0，1]上单调递增，不符合题意． 当0<ln a<1，即1<a<e时，f(x)在[0，ln a)上单调递减，在(ln a，1]上单调递增，且f(0)＝0，f(1)＝e－a－1. 要使f(x)在[0，1]上有两个零点， 只需即即1<a≤e－1. 当ln a≥1，即a≥e时，f(x)在[0，1]上单调递减，不符合题意． 综