第3章 重难突破系列(二) 导数与不等式证明（word教参）-【正禾一本通】2024高考数学高三一轮总复习高效讲义（湘教版，新教材新高考）

重难突破系列(二)　导数与不等式证明 ► 对应学生用书P062 利用导数证明不等式问题一般要用到构造法，构造法是指在证明与函数有关的不等式时，根据所要证明的不等式，构造与之相关的函数，利用函数单调性、极值、最值加以证明．常见的构造方法有： (1)直接构造法：证明不等式f(x)>g(x)(f(x)<g(x))转化为证明f(x)－g(x)>0(f(x)－g(x)<0)，进而构造辅助函数h(x)＝f(x)－g(x)； (2)适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩，二是利用常见的放缩结论，如ln x≤x－1，ex≥x＋1，ln x<x<ex(x>0)，≤ln (x＋1)≤x(x>－1)； (3)构造“形似”函数：稍作变形再构造，对原不等式同解变形，如移项、通分、取对数，把不等式转化为左、右两边是相同结构的式子的形式，根据“相同结构”构造辅助函数； (4)构造双函数：若直接构造函数求导难以判断符号，导函数零点也不易求得，函数单调性与极值点都不易获得，则可构造函数f(x)和g(x)，利用其最值求解． 作差构造法 [例1] (2023·四川成都一诊)已知函数f(x)＝(a－1)ln x＋x＋，a∈R，f′(x)为f(x)的导函数． (1)讨论函数f(x)的单调性； (2)当a＝2时，证明：f(x)－f′(x)≤x＋对任意的x∈[1，2]都成立． 解：(1)依题意，f(x)的定义域为(0，＋∞). f′(x)＝＋1－＝＝. ∵x>0，a∈R， ∴当a≥0时，x＋a>0，函数f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增； 当－1<a<0，即0<－a<1时，函数f(x)在(0，－a)上单调递增，在(－a，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增； 当a＝－1时，f′(x)＝≥0，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增； 当a<－1，即－a>1时，函数f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，－a)上单调递减，在(－a，＋∞)上单调递增． (2)证明：当a＝2时，f(x)＝ln x＋x＋，x∈[1，2]. f′(x)＝＋1－， ∴f(x)－f′(x)－x－＝ln x－＋－1. 令h(x)＝ln x－＋－1，x∈[1，2]， 则h′(x)＝＋－＝. 令u(x)＝x2＋x－4，∵函数u(x)在[1，2]上单调递增，u(1)＝－2<0，u(2)＝2>0， ∴存在唯一的x0∈(1，2)，使得h′(x0)＝0. ∵当x∈(1，x0)时，h′(x)<0，当x∈(x0，2)时，h′(x)>0， ∴函数h(x)在(1，x0)上单调递减，在(x0，2)上单调递增． 又∵h(1)＝0，h(2)＝ln 2－1<0， ∴h(x)max＝0，即f(x)－f′(x)≤x＋对任意的x∈[1，2]都成立． 【点拨】　1.待证不等式的两边含有相同的变量时，一般地，可以直接构造“左减右”或“右减左”的函数，通过研究其单调性等相关函数性质证明不等式． 2．利用构造差函数证明不等式的基本步骤 (1)作差或变形； (2)构造新的函数g(x)； (3)利用导数研究g(x)的单调性或最值； (4)根据单调性及最值，得到所证不等式． [对点练] 1.设a为实数，函数f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R. (1)求f(x)的单调区间与极值； (2)求证：当a>ln 2－1且x>0时，ex>x2－2ax＋1. 解：(1)由f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R，得f′(x)＝ex－2，x∈R，令f′(x)＝0，得x＝ln 2. 于是当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： x (－∞，ln 2) ln 2 (ln 2，＋∞) f′(x) － 0 ＋ f(x) ↘ 2(1－ln 2＋a) ↗ 故f(x)的单调递减区间是(－∞，ln 2)，单调递增区间是(ln 2，＋∞). 所以f(x)在x＝ln 2处取得极小值，极小值为f(ln 2)＝2(1－ln 2＋a)，无极大值． (2)证明：设g(x)＝ex－x2＋2ax－1，x∈R. 于是g′(x)＝ex－2x＋2a，x∈R. 由(1)知当a>ln 2－1时，g′(x)的最小值为g′(ln 2)＝2(1－ln 2＋a)>0. 于是对任意x∈R，都有g′(x)>0，所以g(x)在R内单调递增． 于是当a>ln 2－1时，对任意x∈(0，＋∞)，都有g(x)>g(0). 又g(0)＝0，从而对任意x∈(0，＋∞)，g(x)>0. 即ex－x2＋2ax－1>0，故ex>x2－2ax＋1. 隔离转化法 [例2] (2021·全国高考乙卷)设函数f(x)＝ln (a－x)，已知x＝0是函数y＝xf(x)的极值点． (1)求a； (2)设函数g(x)＝，证明：g(x)<1. 解：(1)由f(x)＝ln (a－x