第3章 第2节 第2课时 利用导数研究函数的极值、最值（word教参）-【正禾一本通】2024高考数学高三一轮总复习高效讲义（湘教版，新教材新高考）

第2课时　利用导数研究函数的极值、最值 [课标解读]　1.借助函数图象，了解函数在某点取得极值的必要和充分条件．　2.会用导数求函数的极大值、极小值．　3.会求闭区间上函数的最大值最小值． 　备考第1步——梳理教材基础，落实必备知识 1．函数的极值 (1)定义 满足条件 极小值点 与极小值 若函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，就把点a叫作函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫作函数y＝f(x)的极小值 极大值点 与极大值 若函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，就把点b叫作函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫作函数y＝f (x)的极大值 极值与极值点 极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点 (2)求可导函数极值的步骤 ①求f′(x)； ②求方程f′(x)＝0的根； ③确定f′(x)在方程f′(x)＝0的根的左右两侧导数值的符号．如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值． 2．函数的最值 (1)一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值．函数的最值必在极值点或区间端点处取得． (2)求函数f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下： ①求函数y＝f(x)在区间(a，b)上的极值； ②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b) 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． [必记结论] 对于可导函数f(x)，“f′(x0)＝0”是“函数f(x)在x＝x0处有极值”的必要不充分条件． 【小题热身】 1．思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)函数在某区间上或定义域内的极大值是唯一的．(　　) (2)函数的极大值比极小值大．(　　) (3)“f′(x0)＝0”是“x0为可导函数y＝f(x)的极值点”的充分不必要条件．(　　) (4)函数的最大值不一定是极大值，极大值也并不一定是最大值．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．如图是f(x)的导函数f′(x)的图象，则f(x)的极小值点的个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：选A．由题意知只有在x＝－1处f′(－1)＝0，且其两侧导数符号为左负右正． 3．(选择性必修二·P37例7改编)函数f(x)＝ln x－x在区间(0，e]上的最大值为________. 解析：f′(x)＝－1，令f′(x)＝0得x＝1. 当x∈(0，1)时，f′(x)＞0；当x∈(1，e]时，f′(x)＜0. ∴当x＝1时，f(x)取得最大值，且f(x)max＝f(1)＝ln 1－1＝－1. 答案：－1 4．(2022·全国甲卷)当x＝1时，函数f(x)＝a ln x＋取得最大值－2，则f′(2)＝(　　) A．－1 B．－ C． D．1 解析：选B．因为函数f定义域为，所以依题可知，f＝－2，f′＝0，而f′＝－，所以b＝－2，a－b＝0，即a＝－2，b＝－2，所以f′＝－＋，因此函数f在上递增，在上递减，x＝1时取最大值，满足题意，即有f′＝－1＋＝－. 5．设x1，x2是函数f(x)＝x3－2ax2＋a2x的两个极值点，若x1<2<x2，则实数a的取值范围是________. 解析：由题意得f′(x)＝3x2－4ax＋a2的两个零点x1，x2满足x1<2<x2，所以f′(2)＝12－8a＋a2<0，解得2<a<6. 答案：(2，6) 　备考第2步——突破核心考点，提升关键能力 考点1　利用导数求函数极值问题 【典例引领】 　根据图象判断函数极值 [例1] (多选)已知函数f (x)在R上可导，其导函数为f ′(x)，且函数y＝(1－x)f ′(x)的图象如图所示，则(　　) A．函数f (x)有极大值f (2) B．函数f (x)有极大值f (－2) C．函数f (x)有极小值f (－2) D．函数f (x)有极小值f (2) 解析：选BD．由题图可知，当x<－2时，f ′(x)>0；当－2<x<1时，f ′(x)<0；当1<x<2时，f ′(x)<0；当x>2时，f ′(x)>0.由此可以得到函数f (x)在x＝－2处取得极大值，在x＝2处取得极小值． 【思维升华】　由函数的图象判断函数的极值，要抓住两点：(1)由函数的图象与x轴的交点，可得函数的可能极值点；(2)由导函数的图象可以看出导函数值的正负，从而可以判断出函数的单调性，两者结合可得极值点．