第3章 第2节 第1课时 利用导数研究函数的单调性（word教参）-【正禾一本通】2024高考数学高三一轮总复习高效讲义（湘教版，新教材新高考）

第2节 导数在研究函数中的应用 ► 对应学生用书P050 第1课时　利用导数研究函数的单调性 [课标解读]　1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系．　2.能利用导数研究函数的单调性；对于多项式函数，能求不超过三次的多项式函数的单调区间． 　备考第1步——梳理教材基础，落实必备知识 函数的单调性与导数的关系 一般地，设函数y＝f(x)在某个区间(a，b)内有导数，函数f(x)的单调性与其导函数f′(x)的正负之间具有如下关系： 在某个区间(a，b)上，如果f′(x)>0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)上单调递增，区间(a，b)为函数y＝f(x)的单调增区间； 在某个区间(a，b)上，如果f′(x)<0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)上单调递减，区间(a，b)为函数y＝f(x)的单调减区间． 在某个区间(a，b)上，如果f′(x)＝0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)上为常函数． [必记结论] 1．在某区间内f′(x)＞0(f′(x)＜0)是函数f(x)在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件． 2．可导函数f(x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是对∀x∈(a，b)，都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)且f′(x)在(a，b)上的任何子区间内都不恒为零． 【小题热身】 1．思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)若函数f(x)在定义域上都有 f′(x)<0，则函数f(x)在定义域上一定单调递减．(　　) (2)若函数f(x)在(a，b)内单调递增，则一定有f′(x)>0.(　　) (3)在某区间上f′(x)>0(f′(x)<0)是函数f(x)在此区间上单调递增(减)的充分不必要条件．(　　) (4)在(a，b)上f′(x)≤0，且f′(x)＝0的根有有限个，则f(x)在(a，b)上单调递减．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 2．导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是(　　) 解析：选D．由题图可知当x>0时，f′(x)>0，当x<0时，f′(x)<0，所以函数f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，D选项符合． 3．若函数f(x)＝kx－ln x在区间(1，＋∞)上单调递增，则k的取值范围是(　　) A．(－∞，－2] B．(－∞，－1] C．[2，＋∞) D．[1，＋∞) 解析：选D．因为f(x)＝kx－ln x，所以f′(x)＝k－. 因为f(x)在区间(1，＋∞)上单调递增，所以当x>1时，f′(x)＝k－≥0恒成立，即k≥在区间(1，＋∞)上恒成立．因为x>1，所以0<<1，所以k≥1. 4．(选择性必修二·P29例2改编)函数f(x)＝的单调递增区间为_______________；单调递减区间为____________. 解析：函数的定义域为{x|x≠0}，且f′(x)＝，令f′(x)>0得x>1，f(x)的单调递增区间为(1，＋∞)，令f′(x)<0，得x<1且x≠0，f(x)的单调减区间为(－∞，0)和(0，1). 答案：(1，＋∞)　(－∞，0)和(0，1) 　备考第2步——突破核心考点，提升关键能力 考点1　不含参数的单调性 【考点集训】 1．函数y＝x cos x－sin x在下面哪个区间上单调递增(　　) A． B．(π，2π) C． D．(2π，3π) 解析：选B．y′＝－x sin x，经验证，只有在(π，2π)内y′>0恒成立，∴y＝x cos x－sin x在(π，2π)上单调递增． 2．已知函数f(x)＝x(ex－e－x)，则f(x)(　　) A．是奇函数，且在(0，＋∞)上单调递减 B．是奇函数，且在(0，＋∞)上单调递增 C．是偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减 D．是偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增 解析：选D．因为f(x)＝x(ex－e－x)，x∈R，定义域关于原点对称，且f(－x)＝－x(e－x－ex)＝x(ex－e－x)＝f(x)，所以f(x)是偶函数．当x>0时，f′(x)＝ex－e－x＋x(ex＋e－x)>0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增，故选D． 3．函数f(x)＝(x∈[e，＋∞))的单调递增区间为________. 解析：f′(x)＝，令g(x)＝x－1－ln x，g′(x)＝1－，∵x∈[e，＋∞)，∴1－>0，g′(x)>0，∴g(x)在x∈[e，＋∞)上是增函数，g(x)≥g(e)＝e－2>0，即f′(x)>0，∴f(x)的单调递增区间为[e，＋∞). 答案：[e，＋∞) 【思维升华】　确定函数单调区间的步骤 (1)确定函数f(x)的定义域． (2)求f′(x). (3)解不等式f′(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间