第3章 第1节 导数的概念及意义、导数的运算（word教参）-【正禾一本通】2024高考数学高三一轮总复习高效讲义（湘教版，新教材新高考）

第三章　一元函数的导数及其应用 第1节 导数的概念及意义、导数的运算 ► 对应学生用书P047 [课标解读]　1.了解导数概念的实际背景．　2.通过函数图象直观理解导数的几何意义．　3.能根据导数定义求函数y＝c(c为常数)，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝的导数．　4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．　5.了解复合函数的求导法则，能求简单复合函数(仅限于形如f(ax＋b)的复合函数)的导数． 　备考第1步——梳理教材基础，落实必备知识 1．变化率 (1)定义式：＝； (2)实质：函数值的增量与自变量的增量之比； (3)作用：刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢； (4)几何意义：已知P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是函数y＝f(x)的图象上两点，则＝平均变化率表示割线P1P2的斜率． 注意：Δx可以是正值，也可以是负值，但不为0. 2．瞬时速度 (1)物体在某一时刻的速度称为瞬时速度； (2)一般地，设物体的运动规律是s＝s(t)，则物体在t0到t0＋Δt这段时间内的平均速度为＝.如果Δt无限趋近于0时，无限趋近于某个常数v，我们就说当Δt趋近于0时，的极限是v，这时v就是物体在时刻t＝t0时的瞬时速度，即瞬时速度v＝ ＝ . 3．导数的概念 函数y＝f(x)在x＝x0处的导数：函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率 ＝ 为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|，即f′(x0)＝ ＝ . 4．导数的几何意义 函数f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率，相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0). 5．基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0 f(x)＝xα(α∈Q且α≠0) f′(x)＝αxα－1 f(x)＝sin x f′(x)＝cos x f(x)＝cos x f′(x)＝－sin x f(x)＝ax(a>0，且a≠1) f′(x)＝ax ln a f(x)＝ex f′(x)＝ex f(x)＝logax(a>0，且a≠1) f′(x)＝ f(x)＝ln x f′(x)＝ 6.导数的运算法则 (1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)； (2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)； (3)′＝(g(x)≠0). 7．复合函数的导数 (1)定义：一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x)). (2)求导法则：一般地，对于由函数y＝f(u)和u＝g(x)复合而成的函数y＝f(g(x))，它的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x． [必记结论] (1)奇函教的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数．周期函数的导数还是周期函数． (2)曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二次曲线相切只有一个公共点． 【小题热身】 1．思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)f′(x0)是函数y＝f(x)在x＝x0附近的平均变化率．(　　) (2)函数f(x)＝sin (－x)的导数f′(x)＝cos x．(　　) (3)已知质点的速度v＝10t，则从t＝0到t＝t0质点所经过的路程是5t.(　　) (4)曲线y＝f(x)在某点处的切线与曲线y＝f(x)过某点的切线意义是相同的．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 2．(多选)下列导数的运算中正确的是(　　) A．(3x)′＝3x ln 3 B．(x2ln x)′＝2x ln x＋x C．′＝ D．(sin x cos x)′＝cos 2x 解析：选ABD．因为′＝，所以C项错误，其余都正确． 3．(选择性必修二·P24例9改编)设f(x)＝e＋ln 2的导函数为f′(x)，则f′(1)的值为(　　) A．0 B．e C． D． 解析：选D．f′(x)＝e·′＝ex. ∴f′(1)＝. 4. (2021·全国高考甲卷)曲线y＝在点处的切线方程为__________. 解析：由题知，当x＝－1时，y＝－3，故点在曲线上． 求导得：y′＝＝，所以y′|x＝－1＝5. 故切线方程为5x－y＋2＝0. 答案：5x－y＋2＝0 5．(选择性必修二·P13例11改编)已知曲线f(x)＝ln x＋在点(1，f(1))处的切线的倾斜角为，则a的值为____________. 答案：－1 　备考第2步——突破核心考点，提升关键能力 考点1