第2章 第9节 函数模型及其应用（word教参）-【正禾一本通】2024高考数学高三一轮总复习高效讲义（湘教版，新教材新高考）

第9节 函数模型及其应用 ► 对应学生用书P043 [课标解读]　1.利用计算工具，比较指数函数、对数函数以及一元一次函数增长差异；结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义．　2.收集一些社会生活中普遍使用的函数模型(指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等)的实例，了解函数模型的广泛应用． 　备考第1步——梳理教材基础，落实必备知识 1．几类函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0) 反比例函数模型 f(x)＝＋b(k，b为常数，k≠0) 二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) 指数函数模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1) 对数函数模型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1) 幂函数模型 f(x)＝axn＋b(a，b为常数，a≠0) 2.三种函数模型的性质 函数 性质 y＝ax(a>1) y＝logax(a>1) y＝xn(n>0) 在(0，＋∞)上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图象的变化 随x的增大逐渐表现为与y轴平行 随x的增大逐渐表现为与x轴平行 随n值变化而各有不同 值的比较 存在一个x0，使得当x>x0时，有logax<xn<ax [必记结论] 形如f(x)＝x＋(a＞0)的函数模型称为“对勾”函数模型： (1)该函数在(－∞，－]和[，＋∞)内单调递增，在[－，0)和(0，]上单调递减． (2)当x＞0时，x＝时取最小值2， 当x＜0时，x＝－时取最大值－2. 【小题热身】 1．思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)某种商品进价为每件100元，按进价增加10%出售，后因库存积压降价，若按九折出售，则每件还能获利．(　　) (2)函数y＝2x的函数值比y＝x2的函数值大．(　　) (3)不存在x0，使ax0<x<logax0.(　　) (4)在(0，＋∞)上，随着x的增大，y＝ax(a>1)的增长速度会超过并远远大于y＝xa(a>0)的增长速度．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．已知f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，当x∈(4，＋∞)时，对三个函数的增长速度进行比较，下列选项中正确的是(　　) A．f(x)>g(x)>h(x) B．g(x)>f(x)>h(x) C．g(x)>h(x)>f(x) D．f(x)>h(x)>g(x) 解析：选B．当x>4时，g(x)＝2x增长最快，对数函数h(x)＝log2x增长最慢，f(x)＝x2增长介于指数、对数函数中间． 3．已知甲、乙两种商品在过去一段时间内的价格走势如图所示．假设某商人持有资金120万元，他可以在t1至t4的任意时刻买卖这两种商品，且买卖能够立即成交(其他费用忽略不计).如果他在t4时刻卖出所有商品，那么他将获得的最大利润是(　　) A．40万元 B．60万元 C．80万元 D．120万元 解析：选D．根据图象，在低价时买入，在高价时卖出能获得最大利润．t1时刻买入甲，t2时刻卖出获利120÷6×(8－6)＝40万元，t3时刻买入乙，t4时刻卖出(40＋120)÷4×(6－4)＝80万元，此时获利40＋80＝120万元． 4．已知某物体的温度Q(单位：摄氏度)随时间t(单位：分钟)的变化规律为Q＝m·2t＋21－t(t≥0，且m>0).若物体的温度总不低于2摄氏度，则m的取值范围是________. 解析：由题意得，m·2t＋21－t≥2恒成立(t≥0，且m>0)， 又m·2t＋21－t≥2，∴2≥2，∴m≥. 答案： 　备考第2步——突破核心考点，提升关键能力 考点1　利用函数的图象刻画实际问题 【考点集训】 1．(多选)在一次社会实践活动中，某数学调研小组根据车间持续5个小时的生产情况画出了某种产品的总产量y(单位：kg)与时间x(单位：h)的函数图象，则以下关于该产品生产状况的正确判断是(　　) A．在前三小时内，每小时的产量逐步增加 B．在前三小时内，每小时的产量逐步减少 C．最后一小时内的产量与第三小时内的产量相同 D．最后两小时内，该车间没有生产该产品 解析：选BD．由题图得，前三小时的产量在逐步减少，故A错误，B正确；最后两小时内没有生产产品，故C错误，D正确．故选BD． 2．(2022·北京高考)在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献．如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和lg P的关系，其中T表示温度，单位是K；P表示压强，单位是b