第2章 第8节 函数与方程（word教参）-【正禾一本通】2024高考数学高三一轮总复习高效讲义（湘教版，新教材新高考）

第8节 函数与方程 ► 对应学生用书P039 [课标解读]　1.理解函数的零点与方程的解的关系．　2.了解函数零点存在定理，并能简单应用．　3.了解用二分法求方程的近似解． 　备考第1步——梳理教材基础，落实必备知识 1．函数的零点 (1)函数零点的定义 对于一般函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫作函数y＝f(x)的零点． (2)函数零点的等价关系 方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)有零点⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有公共点． (3)函数零点的判定(函数零点存在定理) 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根． 2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系 Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 与x轴的交点 (x1，0)，(x2，0) (x1，0) 无交点 零点个数 2 1 0 3.二分法 (1)定义：对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫作二分法． (2)给定精确度ε，用二分法求函数f(x)零点x0的近似值的一般步骤如下： ①确定零点x0的初始区间[a，b]，验证f(a)f(b)<0. ②求区间(a，b)的中点c. ③计算f(c)，并进一步确定零点所在的区间： (ⅰ)若f(c)＝0(此时x0＝c)，则c就是函数的零点； (ⅱ)若f(a)f(c)<0(此时x0∈(a，c))，则令b＝c； (ⅲ)若f(c)f(b)<0(此时x0∈(c，b))，则令a＝c. ④判断是否达到精确度ε：若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复②～④. [必记结论] 1．若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点．函数的零点不是一个“点”，而是方程f(x)＝0的实根． 2.由函数y＝f(x)(图象是连续不断的)在闭区间[a，b]上有零点不一定能推出f(a)·f(b)<0，如图所示，所以“f(a)·f(b)<0”是“y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点”的充分不必要条件． 【小题热身】 1．思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．(　　) (2)若函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)·f(b)<0.(　　) (3)二次函数y＝ax2＋bx＋c在b2－4ac≤0时没有零点．(　　) (4)函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实根．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．下列各图象表示的函数中有零点但不能用二分法求函数零点近似值的是(　　) 解析：选C．选项C，图象与x轴有交点，但两侧符号均为正，故不能用二分法求零点． 3．已知函数f(x)＝则函数f(x)的零点为(　　) A．2 B．－2，0 C． D．0 解析：选D．当x≤1时，令f(x)＝2x－1＝0，解得x＝0；当x>1时，令f(x)＝1＋log2x＝0，解得x＝(舍去).综上，函数的零点为0. 4．(必修一·P127例2改编)函数f(x)＝ln x＋x－，则函数f(x)的零点所在区间是(　　) A． B． C． D．(1，2) 解析：选C．易知函数f(x)的图象在(0，＋∞)上连续，且函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，∵f＝ln ＋＝ln ，又＝81e<44＝256，∴f＝ln <0，∵f(1)＝ln 1＋1－＝>0，∴函数f(x)的零点所在的区间为. 　备考第2步——突破核心考点，提升关键能力 考点1　函数零点所在区间的判定 【考点集训】 1．函数f＝ln －的零点所在的区间是(　　) A． B． C． D． 解析：选D．由题得f＝ln 3－2＝ln 3－ln e2<0，f＝ln 4－1＝ln 4－ln e>0，所以f(1)f(2)<0，由零点存在定理得函数f＝ln －的零点所在的区间是. 2．(多选)记函数f(x)＝x＋ln x的零点为x0，则关于x0的结论正确的为(　　) A．0<x0< B．<x0<1 C．e－x0＝0 D．e＋x0＝0 解析：选BC．由于函数f(x)＝x＋ln x在(0，＋∞)上单调递增，且f＝－ln 2<0，f(1)＝1>0，∴<x0<1，故A选项错误，B选项正确．由于x0是函数f(x)＝x＋ln x的零点，则x0＋ln x0＝0，即ln x0＝－x0，∴x0＝e，即e－x0＝0，