第2章 第6节 对数与对数函数（word教参）-【正禾一本通】2024高考数学高三一轮总复习高效讲义（湘教版，新教材新高考）

第6节 对数与对数函数 ► 对应学生用书P032 [课标解读]　1.理解对数的概念和运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数．　2.了解对数函数的概念及其单调性与特殊点．　3.知道对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)与指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)互为反函数． 　备考第1步——梳理教材基础，落实必备知识 1．对数的概念 (1)如果ab＝N(a>0且a≠1)，那么数b叫作以a为底N的对数，记作b＝logaN，其中a叫作对数的底数，N叫作真数． (2)对数的基本恒等式 logaa＝1，loga1＝0． (3)常用对数与自然对数 常用对数 将以10为底的对数叫作常用对数 把log10N记为lg N 自然对数 将以无理数e＝2.718 28…为底的对数叫作自然对数 把logeN记为ln N 2.对数的性质与运算法则 (1)对数的运算法则 如果a>0且a≠1，M >0，N >0，那么 ①loga(MN)＝logaM＋logaN； ②loga＝logaM－logaN； ③logaMn＝nlogaM (n∈R)； ④logamMn＝logaM. (2)对数的性质 ①alogaN＝N； ②logaaN＝N(a>0且a≠1). (3)对数的重要公式 ①换底公式：logbN＝ (a，b均大于零且不等于1)； ②logab＝，推广logab·logbc·logcd＝logad． [必记结论] 换底公式的三个重要结论： (1)logab＝； (2)logambn＝logab； (3)logab·logbc·logcd＝logad. 3．对数函数的图象与性质 y＝logax a>1 0<a<1 图象 定义域 (0，＋∞) 值域 R 性质 过定点(1，0) 当x>1时，y>0；当0<x<1时，y<0 当x>1时，y<0；当0<x<1时，y>0 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数 4.反函数 指数函数y＝ax与对数函数y＝logax互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称． [必记结论] 对数函数的图象与底数大小的比较 如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数，故0<c<d<1<a<b，由此我们可得到以下规律，在第一象限内从左到右底数逐渐增大． 【小题热身】 1．思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)ln x2＝2ln x．(　　) (2)函数y＝log3(x＋1)是对数函数．(　　) (3)函数y＝lg 与y＝lg (2＋x)－lg (2－x)的定义域相同．(　　) (4)当x>1时，若logmx>lognx，则m<n．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 2．(必修一·P115例5改编)计算log29×log34＋2log510＋log50.25＝(　　) A．0 B．2 C．4 D．6 解析：选D．原式＝2log23×(2log32)＋log5(102×0.25)＝4＋log525＝4＋2＝6. 3．(2022·浙江高考)已知2a＝5，log83＝b，则4a－3b＝(　　) A．25 B．5 C． D． 解析：选C．因为2a＝5，所以a＝log25，b＝log83＝log23， 所以4a－3b＝4＝2＝2＝，故选C． 4．(多选)已知函数f(x)＝loga(1－x)(a>0，且a≠1)下列关于f(x)的说法正确的是(　　) A．f(x)的定义域是(－∞，1) B．f(x)的值域是R C．f(x)的图象过原点 D．当a>1时，f(x)在定义域上是增函数 解析：选ABC．由1－x>0，得x<1，故A正确；由对数函数知，值域为R，B正确；当x＝0时，y＝0，图象过原点，C正确．由复合函数“同增异减”得f(x)在定义域上是减函数，D错误． 5．函数y＝logax(a>0，a≠1)在[2，4]上的最大值与最小值的差是1，则a＝________. 解析：对数函数在[2，4]上是单调函数，所以最大值和最小值是在区间端点处取得，所以有|loga2－loga4|＝1，即loga＝±1，解得a＝2或. 答案：2或 　备考第2步——突破核心考点，提升关键能力 考点1　对数式的运算 【考点集训】 1．(多选)设a，b，c都是正数，且4a＝6b＝9c，那么(　　) A．ab＋bc＝2ac B．ab＋bc＝ac C．＝＋ D．＝－ 解析：选AD．由题意，设4a＝6b＝9c＝M(M>0)，则a＝log4M，b＝log6M，c＝log9M，∴＝logM4，＝logM6，＝logM9，∵logM4＋logM9＝2logM6.∴＋＝，即＝－，整理得，ab＋bc＝2ac，易知AD正确，BC错误． 2．一种药在病人血