第2章 第5节 指数与指数函数（word教参）-【正禾一本通】2024高考数学高三一轮总复习高效讲义（湘教版，新教材新高考）

第5节 指数与指数函数 ► 对应学生用书P029 [课标解读]　1.了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质．　2.了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念．　3.能画具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点． 　备考第1步——梳理教材基础，落实必备知识 1．根式及相关概念 (1)a的n次方根定义 如果xn＝a，那么称x是a的n次方根，其中n>1，且n∈N*. (2)根式：式子叫作根式，这里n叫作根指数，a叫作被开方数． 2．根式的性质(n>1，且n∈N*) (1)n为奇数时，＝a． (2)n为偶数时，＝|a|＝ (3)＝0． (4)负数没有偶次方根． 3．分数指数幂的意义 分数指数幂 正分数指数幂 规定a＝(a>0，m，n∈N*，n>1) 负分数指数幂 规定a＝＝(a>0，m，n∈N*，n>1) 0的分数指数幂 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 4.有理数指数幂的运算性质 (1)aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q). (2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q). (3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q). 5．指数函数定义 一般地，函数y＝ax(a＞0，且a≠1)叫作指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R． 6．指数函数的图象与性质 y＝ax a>1 0<a<1 图象 定义域 R 值域 (0，＋∞) 性质 过定点(0，1) 当x>0时，y>1；当x<0时，0<y<1 当x>0时，0<y<1；当x<0时，y>1 在(－∞，＋∞)上是增函数 在(－∞，＋∞)上是减函数 [必记结论] 指数函数的图象与底数大小的比较 如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c>d>1>a>b. 由此我们可得到以下规律：在y轴右(左)侧图象越高(低)，其底数越大． 【小题热身】 1．思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1) ＝()n＝a(n∈N*).(　　) (2)函数y＝3·2x与y＝2x＋1都不是指数函数.(　　) (3)若am<an(a>0，且a≠1)，则m<n.(　　) (4)函数y＝2－x在R上为减函数．(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)√ 2．函数y＝2x＋1的图象是(　　) 解析：选A．由y＝2x向左平移一个单位得到y＝2x＋1，底数2>1，是增函数，所以A正确． 3．(必修一·P108例4改编)已知a＝1.80.8，b＝0.81.8，c＝1.81.8，则(　　) A．a<b<c B．b<a<c C．c<b<a D．a<c<b 解析：选B．由0<0.81.8<0.80＝1<1.80.8<1.81.8知b<a<c. 4．若函数f(x)＝ax在[－1，1]上的最大值为2.则a＝________. 解析：若a>1，则f(x)max＝f(1)＝a＝2；若0<a<1，则f(x)max＝f(－1)＝a－1＝2，得a＝. 答案：2或 　备考第2步——突破核心考点，提升关键能力 考点1　指数幂的运算 【考点集训】 1．计算：(－3)＋(0.002)－10×(－2)－1＋(－)0＝________. 解析：原式＝(－1)×(3)＋()－＋1＝()＋500－10×(＋2)＋1 ＝＋10－10－20＋1＝－. 答案：－ 2．化简：＝________(a>0，b>0). 解析：原式＝＝a·b＝ab－1. 答案：ab－1 3．已知常数a>0，函数f(x)＝的图象经过点P(p，)，Q(q，－).若2p＋q＝36pq，则a＝________. 解析：因为f(x)＝＝，且其图象经过点P，Q， 则f(p)＝＝，即＝－，① f(q)＝＝－，即＝－6，② ①×②得＝1，则2p＋q＝a2pq＝36pq，所以a2＝36，解得a＝±6，因为a>0，所以a＝6. 答案：6 【思维升华】　(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意： ①必须同底数幂相乘，指数才能相加． ②运算的先后顺序． (2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数． (3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数． 考点2　指数函数的图象及应用 【典例引领】 [例1] (1)函数y＝ax－a－1(a>0，且 a≠1)的图象可能是(　　) 解析：选D．函数y＝ax－是由函数y＝ax的图象向下平移个单位长度得到的，A项显然错误；当a>1时，0<<1，平移距离小于1，所以B项错误；当0<a<1时，>1，平移距离大于1，所以C项错误．故选D． (2) 若函数y＝|3x－1|的图象与直线y＝b有两个公共