第2章 第3节 函数的奇偶性与周期性（word教参）-【正禾一本通】2024高考数学高三一轮总复习高效讲义（湘教版，新教材新高考）

第3节 函数的奇偶性与周期性 ► 对应学生用书P021 [课标解读]　1.结合具体函数，了解奇偶性的概念和几何意义．　2.结合三角函数，了解周期性的概念和几何意义． 　备考第1步——梳理教材基础，落实必备知识 1．函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果∀x∈D，都有－x∈D，且 f(－x)＝f(x) 关于y轴对称 奇函数 f(－x)＝－f(x) 关于原点对称 2.函数的周期性 (1)周期函数 对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期． (2)最小正周期 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫作f(x)的最小正周期． [必记结论] 1．函数奇偶性的四个重要结论 (1)如果一个奇函数f(x)在x＝0处有定义，那么一定有f(0)＝0. (2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|). (3)奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性． (4)若y＝f(x＋a)是奇函数，则f(－x＋a)＝－f(x＋a)，其图象关于点(a，0)对称；若y＝f(x＋a)是偶函数，则f(－x＋a)＝f(x＋a)，其图象关于x＝a对称． 2．周期性的几个常用结论 对f(x)的定义域内任一自变量的值x，周期为T，则 (1)若f(x＋a)＝f(x－a)，则T＝2a(a＞0)； (2)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a＞0)； (3)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a＞0)； (4)若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a＞0). 【小题热身】 1．思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．(　　) (2)如果函数f(x)，g(x)为定义域相同的奇函数，则F(x)＝f(x)＋g(x)是奇函数．(　　) (3)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)关于直线x＝a对称．(　　) (4)若T是函数的一个周期，则nT(n∈Z，n≠0)也是函数的周期．(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)√　 (4)√ 2．(必修一·P83例4改编)下列函数中为奇函数的是(　　) A．f(x)＝2x4＋3x2－2 B．f(x)＝x2sin x C．f(x)＝x3－1 D．f(x)＝log2x 解析：选B．由函数奇偶性定义得A是偶函数，B是奇函数，CD是非奇非偶函数． 3．(2021·全国新高考Ⅰ卷)已知函数f(x)＝x3(a·2x－2－x)是偶函数，则a＝______. 解析：因为f(x)＝x3(a·2x－2－x)，故f(－x)＝－x3(a·2－x－2x)， 因为f(x)为偶函数，故f(－x)＝f(x)， 所以x3(a·2x－2－x)＝－x3(a·2－x－2x)，整理得到(a－1)(2x＋2－x)＝0，故a＝1. 答案：1 4．已知定义在R上的函数f (x)满足f (x＋2)＝－，当x∈(0，2]时，f (x)＝2x－1，则f (9)＝________. 解析：因为f (x＋2)＝－，所以f (x＋4)＝－＝f (x)，得T＝4，f (9)＝f (1)＝1. 答案：1 5．(必修一·P83例5改编)已知f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x＋m，则f(3)＝________. 解析：由题意得f(0)＝20＋m＝0，∴m＝－1.由f(－3)＝－f(3)＝－(23－1)＝－7. 答案：－7 　备考第2步——突破核心考点，提升关键能力 考点1　函数的奇偶性 【考点集训】 1．下列函数中，既是奇函数又在区间(0,＋∞)上单调递增的是(　　) A．y＝sin x B．y＝x3 C．y＝ex＋ D．y＝x＋ 解析：选B．选项A，y＝sin x在区间(0,＋∞)上有增有减，故A不符合题意；选项B，y＝x3为奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递增，故B符合题意；选项C，令f(x)＝ex＋e－x，定义域为R，f(－x)＝e－x＋ex＝f(x)，所以f(x)＝ex＋e－x为偶函数，故C不符合题意；选项D，令f(x)＝x＋，f′(x)＝1－＝，当x∈(0，1)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，故D不符合题意．故选B． 2．(2023·福建泉州一中期中)已知函数f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，且f(x)－g(x)＝ex，则＝(　　) A． B． C． D． 解析：选C．取x＝1得f(1)－g(1)＝e①，取x＝－1得f(－1)－g(－1)＝，即－f(1)－g(1)＝②，①－②得2f(1)＝e－，①＋②得－2g(1)＝e＋，所以＝.