第2章 第2节 函数的单调性与最值（word教参）-【正禾一本通】2024高考数学高三一轮总复习高效讲义（湘教版，新教材新高考）

第2节 函数的单调性与最值 ► 对应学生用书P018 [课标解读]　借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值，理解它们的作用和实际意义． 　备考第1步——梳理教材基础，落实必备知识 1．函数单调性的定义 (1)单调函数的定义 条件 设D是函数f(x)的定义域，I是D的一个非空的子集．如果∀x1，x2∈I，当x1＜x2时 都有f(x1)<f(x2) 都有f(x1)>f(x2) 结论 就称f(x)是区间I上的增函数 就称f(x)是区间I上的减函数 图示 (2)单调区间的定义 如果函数y＝f(x)在区间I上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫作y＝f(x)的单调区间． 2．函数的最大(小)值 前提 设D是函数y＝f(x)的定义域，如果有a∈D， 条件 (1)∀x∈D，都有f(x)≤f(a)； (2)∃a∈D，使得f(a)＝M (1)∀x∈D，都有f(x)≥f(a)； (2)∃a∈D，使得f(a)＝M 结论 称M是f(x)的最大值 称M是(x)的最小值 [必记结论] 1．若f(x)，g(x)都是增(减)函数，则当两者都恒大于零时，f(x)·g(x)是增(减)函数；当两者都恒小于零时，f(x)·g(x)是减(增)函数． 2．在公共定义域内，增＋增＝增，减＋减＝减，增－减＝增，减－增＝减． 3．复合函数y＝f[g(x)]的单调性判断方法：“同增异减”． 4．函数y＝f(x)满足∀x1，x2∈D，x1≠x2，>0(<0)⇔f(x)在D上单调递增(单调递减). 【小题热身】 1．思考辨析(在括号内打“√”或“×”). (1)对于函数y＝f(x)，若f(4)<f(5)，则f(x)为增函数．(　　) (2)函数y＝f(x)在[4，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[4，＋∞).(　　) (3)函数y＝的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞).(　　) (4)对于函数f(x)，x∈D，若对任意x1, x2∈D，且x1≠x2有(x1－x2)[f (x1)－f(x2)]>0，则函数f(x)在区间D上是增函数．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．函数f(x)的图象如图所示，则(　　) A．函数f(x)在区间[－1，2]上单调递增 B．函数f(x)在区间[－1，2]上单调递减 C．函数f(x)在区间[－1，4]上单调递减 D．函数f(x)在区间[2，4]上单调递增 解析：选A．由题图可知函数f(x)在区间[－1，2]上单调递增，在[2，4]上单调递减，故选A． 3．(必修一·P81例3改编)已知函数f(x)是定义在区间[0，＋∞)上的函数，且在该区间上为增函数，则满足f(x－1)<f()的x的取值范围是(　　) A．(，) B．[，) C．(，) D．[1，) 解析：选D．因为函数f(x)是定义在区间[0，＋∞)上的增函数，满足f(x－1)<f().所以0≤x－1<，解得1≤x<，故选D． 4．(必修一·P80例2改编)函数f(x)＝在区间[2，4]上的最大值为________，最小值为________. 解析：因为f(x)在[1，5]上是减函数，所以最大值为f(2)＝＝，最小值为f(4)＝＝. 答案：　 5．函数f(x)＝的单调增区间为________. 解析：由x2＋2x－3>0，得定义域为(－∞，－3)∪(1，＋∞)，由复合函数的单调性的判断方法得增区间为(－∞，－3). 答案：(－∞，－3) 　备考第2步——突破核心考点，提升关键能力 考点1　确定函数的单调性(区间) 【考点集训】 1．下列函数中，在区间(0，＋∞)上为减函数的是(　　) A．y＝－sin x B．y＝x2－2x＋3 C．y＝ln (x＋1) D．y＝2 022 解析：选D．y＝－sin x和y＝x2－2x＋3在(0，＋∞)上不具备单调性；y＝ln (x＋1)在(0，＋∞)上单增．故选D． 2．函数y＝log(－x2＋x＋6)的单调递增区间为(　　) A．(，3) B．(－2，) C．(－2，3) D．(，＋∞) 解析：选A．由－x2＋x＋6>0，得－2<x<3，故函数的定义域为(－2，3)，令t＝－x2＋x＋6，则y＝logt，易知其为减函数．由复合函数的单调性法则可知本题等价于求函数t＝－x2＋x＋6在(－2，3)上的单调递减区间．利用二次函数的性质可得t＝－x2＋x＋6在定义域(－2，3)上的单调递减区间为(，3). 3．设函数f(x)＝g(x)＝x2f(x－1)，则函数g(x)的递减区间是________. 解析：由题意知g(x)＝该函数图象如图所示，其单调递减区间是[0，1). 答案：[0，1) 【思维升华】　确