第1章 第4节 基本不等式及其应用（word教参）-【正禾一本通】2024高考数学高三一轮总复习高效讲义（湘教版，新教材新高考）

第4节 基本不等式及其应用 ► 对应学生用书P012 [课标解读]　掌握不等式≤(a>0，b>0)，结合具体实例，能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题． 　备考第1步——梳理教材基础，落实必备知识 1．基本不等式 (1)定理：对任意a，b∈R，必有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时等号成立． (2)推论：对任意a，b≥0，必有≥，当且仅当a＝b时等号成立． 一般地，对于正数a，b，我们把称为a，b的算术平均数，称为a，b的几何平均数． 上述定理和推论中的不等式通常称为基本不等式． 2．几个重要的不等式 (1)＋≥2(a，b同号). (2)ab≤(a，b∈R). (3)≥(a，b∈R). 3．利用基本不等式求最值问题 已知x，y都为正数，则 (1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，和x＋y有最小值是2.(简记：积定和最小) (2)如果和x＋y是定值s，那么当且仅当x＝y时，积xy有最大值是.(简记：和定积最大) [必记结论] 1.≥≥≥(a>0，b>0，当且仅当a＝b时，等号成立). 2．在利用不等式求最值时，一定要尽量避免多次使用基本不等式，若必须多次使用，则一定要保证它们等号成立的条件一致． 【小题热身】 1．思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)函数y＝x＋的最小值是4.(　　) (2)ab≤()2成立的条件ab>0.(　　) (3)“x>0且y>0”是“＋≥2”的充要条件．(　　) (4)若a>0，则a3＋的最小值是2.(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 2．已知x>0，y>0，若xy＝3，则x＋y的最小值为(　　) A．3 B．2 C．2 D．1 解析：选C．由于x>0，y>0，xy＝3，所以x＋y≥2＝2，当且仅当x＝y＝时等号成立，所以x＋y的最小值为2，故选C． 3．(必修一·P38例5改编)当x≥2时，x＋的最小值为________. 解析：设x＋2＝t，则x＋＝t＋－2.又由x≥2得t≥4，而函数y＝t＋－2在[2，＋∞)上是增函数，因此当t＝4，即x＝2时，t＋－2即x＋取得最小值，最小值为4＋－2＝3. 答案：3 4．(必修一·P40例10改编)若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________m2. 解析：设一边长为x m，则另一边长可表示为(10－x)m， 由题知0＜x＜10，则面积S＝x(10－x)≤＝25，当且仅当x＝10－x，即x＝5时等号成立，故当矩形的长与宽相等，且都为5 m时面积取到最大值25 m2. 答案：25 　备考第2步——突破核心考点，提升关键能力 考点1　利用基本不等式求最值 【典例引领】 　拼凑法 [例1] (1)(2023·福建四校联考)已知x<，则f(x)＝4x－2＋的最大值为_________________. 解析：因为x<，所以5－4x>0， 则f(x)＝4x－2＋＝－(5－4x＋)＋3≤－2＋3＝1. 当且仅当5－4x＝，即x＝1时，取等号． 故f(x)＝4x－2＋的最大值为1. 答案：1 (2) 函数y＝(x>1)的最小值为________. 解析：因为x>1，所以x－1≥0，则y＝＝＝＝(x－1)＋＋2≥2＋2.当且仅当x－1＝，即x＝＋1时，取等号． 答案：2＋2 【思维升华】　拼凑法求最值的实质及关键点 拼凑法就是将相关代数式进行适当的变形，通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值的形式，然后利用基本不等式求解最值的方法．拼凑法的实质是代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键． 　常数代换法 [例2] 已知a>0，b>0，3a＋b＝2ab，则a＋b的最小值为________. 解析：因为3a＋b＝2ab，所以＋＝1，又a>0，b>0，故a＋b＝(a＋b)＝2＋＋≥2＋，当且仅当＝时取等号时，a＋b的最小值为2＋. 答案：2＋ 【思维升华】用常数代换法求最值的注意点 (1)注意目标代数式的结构特征，看是否需要整体乘以“1”的替身； (2)注意常数的获得方式，要根据已知代数式的结构特征灵活处理． 　消元法 [例3] (2023·辽宁五校联考)已知正实数a，b满足ab－b＋1＝0，则＋4b的最小值是________. 解析：由ab－b＋1＝0可得a＝， 由a＝>0且b>0得b>1， 所以＋4b＝＋4b＝＋4(b－1)＋5. 易知＋4(b－1)≥4，所以＋4b≥9， 当且仅当＝4(b－1)，即b＝，a＝时等号成立，故＋4b的最小值是9. 答案：9 【思维升华】　消元法求最值的策略 当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”，最后利用基本不等式求最值． 【考点集训】 1．(多选)(2022·全国新高考Ⅱ卷)若x，y满足