第1章 第3节 不等式的性质、一元二次不等式（word教参）-【正禾一本通】2024高考数学高三一轮总复习高效讲义（湘教版，新教材新高考）

第3节 不等式的性质、一元二次不等式 ► 对应学生用书P007 [课标解读]　1.理解不等式的概念，掌握不等式性质，会利用不等式性质判断相关命题的真假．　2.会结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数，了解函数的零点与方程根的关系．　3.借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系，并会解一元二次不等式． 　备考第1步——梳理教材基础，落实必备知识 1．两个实数比较大小的方法 (1)作差法 ①a－b>0⇔a>b； ②a－b＝0⇔a＝b； ③a－b<0⇔a<b. (2)作商法 ①>1(a∈R，b>0)⇔a>b(a∈R，b>0)； ②＝1(a∈R，b≠0)⇔a＝b(a∈R，b≠0)； ③<1(a∈R，b>0)⇔a<b(a∈R，b>0). 2．不等式的性质 (1)对称性：a＞b⇔b＜a. (2)传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c. (3)可加性：a＞b⇔a＋c＞b＋c； a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d. (4)可乘性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b，c＜0⇒ac＜bc；a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd. (5)可乘方：a＞b＞0⇒an＞bn(n∈N，n≥2). (6)可开方：a＞b＞0⇒＞(n∈N，n≥2). 3．一元二次不等式 一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式． 4．三个“二次”间的关系 判别式Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1＜x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集 {x|x＞x2或x＜x1} R ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集 {x|x1＜x＜x2} ∅ ∅ [必记结论] 1．两个重要不等式 若a＞b＞0，m＞0，则： (1)＜；＞(b－m＞0)； (2)＞；＜(b－m＞0). 2．绝对值不等式 |x|>a(a>0)的解集为(－∞，－a)∪(a，＋∞)；|x|<a(a>0)的解集为(－a，a). 3．分式不等式与整式不等式 (1)>0(<0)⇔f(x)·g(x)>0(<0). (2)≥0(≤0)⇔ 【小题热身】 1．思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)若>1，则a>b.(　　) (2)0<a<x<b或a<x<b<0⇔<<.(　　) (3)若不等式ax2＋bx＋c>0的解集是 (－∞，x1)∪(x2，＋∞)，则方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1和x2.(　　) (4)若不等式ax2＋bx＋c<0的解集为(x1，x2)，则必有a>0.(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 2．(多选)已知x>y>z，x＋y＋z＝0，则下列不等式不成立的是(　　) A．xy>yz B．xy>xz C．xz>yz D．x|y|>|y|z 解析：选ACD．由x>y>z.x＋y＋z＝0，知x>0，z<0，对于A，当y<0时不成立；对于B，y>z，x>0，∴yx>xz，正确；对于C，由于x>y，z<0，所以有xz<yz，故C错误；对于D，当y＝0时，不成立．故选ACD． 3．(必修一·P51例1改编)不等式(x＋5)(3－2x)≥6的解集是(　　) A．{x B．{x C．{x D．{x 解析：选D．将不等式变形为：2x2＋7x－9≤0，解得－≤x≤1.所以解集为：{x. 4．(必修一·P53例4改编)不等式≤0的解集是(　　) A．(－∞，1)∪[3，＋∞) B．(－∞，1]∪(3，＋∞) C．[1，3) D．[1，3] 解析：选C．不等式≤0，等价于 解得1≤x＜3，所以不等式的解集是[1，3). 5．(必修一·P53T5改编)若关于x的不等式x2－2ax＋18>0恒成立，则实数a的取值范围为________. 解析：由题意有4a2－4×18<0，可得－3<a<3. 答案：(－3，3) 　备考第2步——突破核心考点，提升关键能力 考点1　比较大小 【典例引领】 [例1] (1)(2023·首都师范大学附属中学期末)设M＝2a(a－2)＋7，N＝(a－2)(a－3)，则M与N的大小关系是(　　) A．M>N B．M≥N C．M<N D．M≤N 解析：选A．因为M－N＝2a(a－2)＋7－(a－2)(a－3)＝a2＋a＋1＝＋>0，所以M>N. (2) 若a>0，b>0，则p＝(ab)与q＝ab·ba的大小关系是(　　) A．p≥q B．p≤q C．p>q D．p<q 解析：选A．由题意知p>0，q>0，则＝＝a·b＝()，若0<b<a，则>1，a－b>0，则>1；若0<a