第1章 创新拓展系列(一) 柯西不等式（PPT课件）-【正禾一本通】2024高考数学高三一轮总复习高效讲义（湘教版，新教材新高考）

正禾一本通 高三一轮总复习高效讲义 精品课件 2024版·数学（湘教） 第一章集合、常用逻辑用语及不等式 创新拓展系列（一 )柯西不等式 正禾一本通 高三一轮总复习高效讲义 正禾一本通 高三一轮总复习高效讲义 2.(柯西不等式的向量形式)设a,B为平面上的两个向量，则aB例≥a例，其中当且 仅当B是零向量，或存在实数k,使a=心时等号成立. 3.(柯西不等式的三角不等式)设x1,y,2,y2,x3,y3为任意实数，则： V(c1-x2)2+0y1y2)2+Vx2-x3)2+62y3)2≥Vx1-x3)2+61y)2. 正禾一本通 高三一轮总复习高效讲义 题型一利用柯西不等式求最值 例10)已知0,0车+y2=1,则总+的最大值是 解桥：由打西不等式得后+y小加+1≥5×1+少×)-5+， 所以1X2≥行+月，当时y,即=5y=子时等号成立. 所以巧ty≤5，即子x+y的最大值是2 答案：2 正禾一本通 高三一轮总复习高效讲义 (2)已知x,y满足x十3y=4,则4x2+y2的最小值为 解析：+≤(2+y4+9,所以4+≥16×号-。 当且仅当y=12x时，等号成立， 64 所以4r2+y2的最小值为37 答案： 正禾一本通 高三一轮总复习高效讲义 (3)函数y=2V2-x十V2x-3的最大值为 解析：y=2V2-x+V2x-3=V2-x+1V2-x+V2x-3≤1V1+1+1: V(2-x)+(2-x)+(2x-3)=V3, 当且仅当V2-x=V2x-3,即x=3时等号成立，函数y的最大值为V3. 答案： 正禾一本通 高三一轮总复习高效讲义 题型二 利用柯西不等式证明不等式 [例2】已知a:g,b,h为正实数，求证：ab十ab)份+≥a十四2. 证明：(ab+ab份+分ab+anqV+0V ≥ahVg+vamV=a+a. 当且仅当b1=b2时，等号成立. 正禾一本通 高三一轮总复习高效讲义 [例3]已知aa,…,an都是实数，求证：a十a2十…十a}2≤a++…+a2 证明：根据柯西不等式，有12+12+…+12)(a+a+…+a≥(1×a十1×a2+… +1×an)2, 所以a+a+…+a2≤++…+a2 【思维升华】 利用柯西不等式求最值和证明不等式，关键是将条件转化为柯西不 等式的结构形式. 正禾一本通 高三一轮总复习高效讲义 【创新集训】 1.函数y=2V1一x十V2x+1的最大值为 解析：由题意，函数y=2V1-x+V2x+1=V2×V2-2x+1V2x+1 ≤VN22+12.VV2-2x)+(V2x+1)2=V3×V3=3, 当且仅当V2-2x1=V2V2x+1取等号，即2-2x=4x+2,即x=0时取等号， 所以函数的最大值为3. 答案：3